Λύση

Έχουμε: $\vert p(x_n, y_n) - p(x, y)\vert = \vert p(x_n, y_n)-p(x, y_n)+p(x, y_n)-p(x, y... ...(x_n, y_n)-p(x, y_n)\vert+\vert p(x, y_n)-p(x, y)\vert \leq p(x_n, x)+p(y_n, y)$. Έστω $\varepsilon >0$. Αφού $x_n\rightarrow x\ ,\ y_n\rightarrow y$, υπάρχει $n_0(\varepsilon ) \in \mathbb N$ που για κάθε $n \geq n_0$ να ισχύει

$$p(x_n, x) < \frac{\varepsilon }{2} \hbox{και } p(y_n, y)< \frac{\varepsilon }{2}.$$

Τότε, αν $n \geq n_0$ έχουμε $\vert p(x_n, y_n)-p(x, y)\vert < \frac{\varepsilon }{2}+ \frac{\varepsilon }{2}=\varepsilon$. Άρα,

$$p(x_n, y_n) \in p(x, y).$$

Άσκηση 2 Υπόδειξη