Άσκηση 3

Αν $(X,\varrho)$ είναι μετρικός χώρος και ορίσουμε:

$$\varrho ^ \prime (x, y) = \frac{ \varrho (x,y) } {1+ \varrho (x,y)} \ , \ x, y \in X$$

τότε (α)    η $\varrho ^ \prime$ είναι μετρική στον $X$
(β)      $0\leq \varrho ^ \prime (x, y) <1 \ , \hbox{για κάθε}\ x,y \in X$
(γ)     $x_n \longrightarrow x$ στον $(X, \varrho ^ \prime)$ αν και μόνον αν $x_n \longrightarrow x$ στον $(X,\varrho)$.
(δ)    τα κλειστά σύνολα στον $(X, \varrho ^ \prime)$ είναι τα ίδια με τα κλειστά σύνολα στον $(X, \varrho).$ Υπόδειξη Λύση