Στοιχεία Θεωρίας

Έστω $X$ ένα μη κενό σύνολο

Ορισμός 10   Ονομάζουμε μετρική στο $X$ μια συνάρτηση $\varrho$ ορισμένη στο καρτεσιανό γινόμενο $X \times X$ και με πραγματικές τιμές:

$$\varrho: X \times X \longrightarrow \mathbb R$$

με τις παρακάτω ιδιότητες:

(α)     $\varrho(x,y) \geq 0 \ , \ \hbox{για κάθε} \ x,y \in X$
(β)      $\varrho(x,y)=0 \ \hbox{αν και μόνον αν} \ x=y$
(γ)     $\varrho(x,y)=\varrho(y,x) \ \hbox{για κάθε} \ x,y \in X \ \hbox{(συμμετρία)}$
(δ)     $\varrho(x,y) \leq \varrho (x,z) + \varrho (z,y) \ \hbox{για κάθε} \ x,y,z \in X \ \hbox{(τριγωνική ιδιότητα)}$ Λέμε οτι το ζευγάρι $(X,\varrho)$ αποτελεί ένα μετρικό χώρο. Επίσης την τιμή $\varrho(x,y)$ στο ζεύγος $(x,y)$ την ονομάζουμε απόσταση μεταξύ των $x,y$.

Ορισμός 11   Αν $\alpha \in X$ kai $\varepsilon >0$ ονομάζουμε $\varepsilon - {\sl\hbox{περιοχή}} \ \hbox{του} \ \alpha$ ή περιοχή κέντρου $\alpha$ και ακτίνας $\varepsilon$ το σύνολο

$$N_\alpha (\varepsilon) = \{x \in X \ \vert \ \varrho(x, \alpha) < \varepsilon \}$$

Ορισμός 12   'Εστω ακολουθία $\{x_n\}$ στον μετρικό χώρο $(X,\varrho)$. Λέμε οτι η $\{ x_n \} \ \hbox{{\sl συγκλίνει}} \ \hbox{στο} \ x \in X$, και γράφουμε $x_n \longrightarrow x$ ή $\lim x_n = x$ αν δοθείσης οποιασδήποτε περιοχής $N_x$ υπάρχει δείκτης $n_0 \in \mathbb N$ ώστε όλοι οι όροι της $\{x_n\}$ μετά από τον $x_{n_0}$ βρίσκονται μέσα στην $N_x$.

Ορισμός 13   Έστω δύο μετρικοί χώροι $(X,\varrho)$ και $(Y,r)$ και συνάρτηση $f:A\longrightarrow Y$ όπου $A\subseteq X$ και $x_0 \in A$. Λέμε οτι η συνάρτηση $f$ είναι συνεχής στο $x_0$ αν για κάθε $\varepsilon >0$ υπάρχει $\delta = \delta(\varepsilon) > 0$ ώστε $x \in A, \varrho(x, x_0) < \delta \Longrightarrow r (f(x), f(x_0)) < \varepsilon$.

ΑΝΙΣάΤΗΤΑ CAUCHY-SCHWARZ

Για κάθε $a_1, a_2, \ldots, a_n \ , \ b_1, b_2, \ldots, b_n \in \mathbb R$ ισχύει

$${(a_1b_1+a_2b_2+ \cdots +a_nb_n)}^2 \leq ({a_1}^2+{a_2}^2 + \cdots +{a_n}^2)\ ({b_1}^2+{b_2}^2+ \cdots +{b_n}^2)$$

ΤΡΙΓΩΝΙΚή ΑΝΙΣάΤΗΤΑ

Για κάθε $a_1, a_2, \ldots, a_n \ , \ b_1, b_2, \ldots, b_n \in \mathbb R$ ισχύει

$${[{(a_1+b_1)}^2+ \cdots +{(a_n+b_n)}^2]}^\frac{1}{2} \leq {[{... ...{a_n}^2]}^ \frac{1}{2} + [{b_1}^2+ \cdots +{b_n}^2]^\frac{1}{2}$$

Τέλος να παρατηρήσουμε ότι το άθροισμα, το γινόμενο, ο λόγος και η σύνθεση συναρτήσεων (όταν αυτές οι πράξεις ορίζονται) δίνουν συνεχείς συναρτήσεις.