Λύση

Είναι: $\overline{A}=X$ αν και μόνο αν κάθε $x \in X$ είναι σημείο επαφής του $A$, δηλαδή αν και μόνο αν για κάθε $x \in X$ και κάθε $\varepsilon >0$ ισχύει $N_x (\varepsilon ) \cap A \neq \emptyset$. Ο $\mathbb R$ είναι διαχωρίσιμος: παίρνουμε $A=\mathbb Q$. Το $\mathbb Q$ έχει αριθμήσιμο πλήθος στοιχείων και αν $x \in \mathbb R$ και $\varepsilon >0$, τότε υπάρχουν ρητοί στο $(x-\varepsilon , x+\varepsilon )$. Δηλαδή, $N_x (\varepsilon ) \cap A \neq \emptyset$. ) $(\mathbb R^n, p)$ είναι διαχωρίσιμος: παίρνουμε $A=\mathbb Q^n =\{ (q_1, \ldots , q_n):\ q_i \in \mathbb Q \ ,\ i-1, \ldots ,n\}$. Το $A$ είναι αριθμήσιμο εαν καρτεσιανό γινόμενο πεπερασμένου πλήθους αριθμησίμων συνόλων. Έστω $x=(x_1, \ldots , x_n)\in \mathbb R^n$ και $\varepsilon >0$. Για κάθε $i\in \{1, \ldots ,n\}$ μπορούμε να βρούμε $q_i \in Q$ του $\vert x_i-q_i\vert< \frac{\varepsilon}{ \sqrt{n}}$. Τότε,

$$q=(q_1, \ldots q_n) \in A\ \hbox{και}\ p(x, q)=\sqrt{\sum ^n ... ...q_i \vert^2} < \sqrt{n \frac{\varepsilon ^2}{n}} =\varepsilon .$$

Δηλαδή, $N_x (\varepsilon ) \cap A \neq \emptyset$. Άρα, $\overline{A} = \mathbb R^n$.

Άσκηση 7 Υπόδειξη