Άσκηση 6

Έστω μη κενό υποσύνολο $E$ μετρικού χώρου $(X,\varrho)$. Ορίζουμε την απόσταση σημείου $x \in X$ από το $E$ ως εξής: $\varrho _ E (x) = \inf \ \varrho(x, y)$. (α)    Αποδείξτε την ύπαρξη του infimum.
(β)     Αποδείξτε ότι: $\varrho _E (x) =0 \Leftrightarrow x \in \overline{E}.$
(γ)    Αποδείξτε ότι: $\vert \varrho _E (x) - \varrho _E(y)\vert\ \leq \ \varrho(x, y) \ , \ x, y \in X$ και ότι η $( \varrho _E:X\longrightarrow \mathbb R)$ είναι συνεχής στον $(X,\varrho)$. Υπόδειξη Λύση