Άσκηση 4

Ένα υποσύνολο $A$ του $\mathbb R^n$ λέγεται κυρτό αν για $x, y \in A$ και κάθε $t \in \mathbb R$ με $0<t<1$ ισχύει οτι $tx + (1-t)y \in A$. Ποιά είναι η γεωμετρική σημασία (στους $\mathbb R^2, \mathbb R^3$) αυτού του ορισμού? Αποδείξτε οτι κάθε $\varepsilon$-περιοχή είναι κυρτό σύνολο και ότι, αν $A$ είναι κυρτό, τότε $\ring A, \overline{A}$ είναι επίσης κυρτά σύνολα. Υπόδειξη Λύση