Λύση

(α)    Κάθε $\varepsilon$-περιοχή είναι κυρτό σύνολο Δείχνουμε πρώτα οτι η $N_0 (\varepsilon)$ είναι κυρτή. Έστω $x,y \in N_0 (\varepsilon)$ και $t\in (0,10)$. Έχουμε $x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2 <\varepsilon ^2$, $y_1^2+y_2^2+\cdots+y_n^2 <\varepsilon ^2$ και από την ανισότητα του Minkowski,

$$\begin{eqnarray*} \varrho (tx&+&(1-t)y, 0) =\sqrt{(tx_1 +(1-t)y_1 )^2 +\cdots +(... ...ots+y_n^2}\\ &<&t\varepsilon +(1-t)\varepsilon =\varepsilon \\ \end{eqnarray*}$$

Άρα, $tx+(1-\varepsilon )y\in N_0 (\varepsilon )$.

Αν τώρα η $\varepsilon$-περιοχή έχει κέντρο οποιδήποτε $x\in\mathbb R^n$, εύκολα βλέπουμε οτι $y\in N_x (\varepsilon )$ αν και μόνο αν $y-x\in N_0 (\varepsilon )$. Οπότε, αν $y, z\in N_x (\varepsilon )$ και $t\in (0,1)$ έχουμε: υπάρχουν $y_1, z_1\in N_0 (\varepsilon )$ ώστε $y=x+ty_1$, $z=x+z_1 \Rightarrow ty+(1-t)z = tx+y_1 + (1-t)x+(1-t)z_1 =x+(ty_1+(1-t)z_1)$. Όμως έχουμε δείξει οτι η $N_0 (\varepsilon)$ είναι κυρτή, άρα $ty_1+(1-t)z_1 \in N_0 (\varepsilon )$ το οποίο δίνει $ty+(1-t)z \in N_0 (\varepsilon )$.

(β)     Έστω $x,y \in\ring{A}$ και $t\in (0,1)$. Θέλουμε να δείξουμε οτι το $z=tx+(1-t)y$ είναι εσωτερικό σημείο του $A$. Αφού $x,y \in\ring{A}$, μπορούμε να βρούμε $\varepsilon >0$ ώστε $N_x (\varepsilon )\subseteq A,\ N_y (\varepsilon )$. Θα δείξουμε οτι $N_z (\varepsilon )\subseteq A$. Έστω $w\in N_z (\varepsilon )$. Θεωρούμε το $w-z$ και το προσθέτουμε στα $x,y$: αφού $w-z\in N_0(\varepsilon )$ έχουμε

$$x+(w-z)\in N_x (\varepsilon )\subseteq A,\qquad y+(w-z)\in N_y (\varepsilon )\subseteq A.$$

Το $A$ είναι κυρτό, άρα $t[x+(w-z)]+(1-t)[y+(w-z)]\in A.$ Δηλαδή,

$$tx+(1-t)y +w-z \in A\Rightarrow w\in A.$$

Άρα, $N_z (\varepsilon )\subseteq A$ οπότε $z\in\ring{A}$.
(γ)    Έστω $x,y \in\overline A$ και $t\in (0,1)$. Υπάρχουν $x_n ,y_n \in A$ με $x_n\rightarrow x$ και $y_n\rightarrow y$. Αφού το $A$ είναι κυρτό, για κάθε $n\in \mathbb N$ έχουμε $tx_n +(1-t)y_n \in A$.

Επίσης, $tx_n +(1-t)y_n \rightarrow tx+(1-t)y$, άρα $tx+(1-t)y \in\overline A$.

Άσκηση 4 Υπόδειξη