Λύση

(α)    Οι τρεις πρώτες ιδιότητες της μετρικής ελέγχονται εύκολα για την $p^\prime$. Δείχνουμε την τριγωνική ιδιότητα: Έστω $x, y, z \in X$. Τότε, $p(x, y) \leq p(x, z) +p(z, y)$. Η συνάρτηση $f(t)=\frac{t}{1+t}$ είναι αύξουσα στο $[0, \infty)$, άρα

$$\begin{eqnarray*} p^\prime (x, y) = \frac{p(x, y)}{1+p(x, y)} &\leq& \frac{p(x,... ...c{p(z, y)}{1+p(z, y)} \\ &=&p^\prime (x, z) +p^\prime (z, y) . \end{eqnarray*}$$

(β)     Αφού $0\leq p(x, y) \leq 1+p(x, y)$, είναι φανερό οτι $0\leq p^\prime (x, y) = \frac{p(x, y)}{1+p(x, y)}\leq 1$.
(γ)    Θέτουμε $\alpha_n =p(x_n, x)$. Τότε $p^\prime (x_n, x) = \frac{\alpha_n}{1+\alpha _n}$. Αν $x_n \stackrel{p}{\rightarrow} x$ τότε $\alpha _n \rightarrow 0$ και $0\leq \frac{\alpha _n}{1+\alpha _n} = \alpha _n$. Άρα, $\frac{\alpha _n}{1+\alpha _n}\rightarrow 0$ δηλαδή $p^\prime (x_n, x) \rightarrow 0$ δηλαδή $x_n \stackrel{p^\prime}{\rightarrow} x$. Αντίστροφα, αν $x_n \stackrel{p^\prime}{\rightarrow} x$ έχουμε $\frac{\alpha _n}{1+\alpha _n} \rightarrow 0 \Rightarrow 1-\frac{1}{1+\alpha _n}... ...row 1 \Rightarrow 1+\alpha _n \rightarrow 1 \Rightarrow \alpha _n \rightarrow 0$ δηλαδή $x_n \stackrel{p}{\rightarrow} x$.
(δ)    Έστω $K\subseteq (X, p)$ κλειστό. Θα δείξουμε οτι είναι κλειστό και ως προς την $p^\prime$: αν $x_n \in K$ και $x_n \stackrel{p^\prime}{\rightarrow} x$, τότε $x_n \stackrel{p}{\rightarrow} x$ (από το ($\gamma$)), και αφού το $K$ είναι κλειστό ως προς την $p$ έχουμε $x \in K$. Αφού η $\{x_n\}$ ήταν τυχούσα $p^\prime$- συγκλίνουσα ακολουθία στο $K$, το $K$ είναι $p^\prime$-κλειστό. Όμοια δείχνουμε οτι κάθε $p^\prime$-κλειστό σύνολο είναι και $p$-κλειστό.

Άσκηση 3 Υπόδειξη