Λύση

(α)    Σταθεροποιούμε κάποιο $i_0 \in I$. Κάθε $A_i,\ i\in I$ είναι κλειστό σύνολο (τα συμπαγή είναι κλειστά), άρα το $\cap_{i\in I} A_i$ είναι κλειστό.

Επίσης, $\cap_{i\in I} \subseteq A_{i_0}$ και το $A_{i_0}$ είναι συμπαγές. Άρα το $\cap_{i\in I} A_i$ είναι συμπαγές.
(β)     Έστω $\{ U_i,\ i\in I \}$ μία ανοιχτή κάλυψη του $A_1 \cup \cdots \cup A_n$. Έχουμε $A_1 \cup\cdots\cup A_n \subseteq \cup_{i\in I} U_i$, άρα και

$$A_j \subseteq \cup_{i\in I} U_i , \qquad j=1,2,\ldots,n.$$

Δηλαδή τα $U_i$ σχηματίζουν ανοιχτή κάλυψη για καθένα από τα $Α_j$. Το $A_j$ είναι συμπαγές άρα υπάρχει πεπερασμένη υποκάλυψη: μπορούμε να βρούμε $U_1^{(j)} ,\ldots,U_{m_j}^{(j)}$ από την κάλυψη ώστε $A_j \subseteq U_1^{(j)} ,\ldots,U_{m_j}^{(j)} \ j=1,2,\ldots,n.$ Τότε,

$$A_1 \cup\cdots\cup A_n \subseteq \left( U_1^{(1)} ,\ldots,U_{m_1}^{(1)} \right)\cup\cdots\cup U_1^{(n)} ,\ldots,U_{m_n}^{(n)}$$

δηλαδή βρήκαμε πεπερασμένη υποκάλυψη για το $A_1 \cup \cdots \cup A_n$. Άρα το $A_1 \cup \cdots \cup A_n$ είναι συμπαγές.
(γ)    Θετουμε $A_n =\{ n\}$ για $n\in \mathbb N$. Κάθε $A_n$ είναι συμπαγές όμως το $\cup_{n=1}^\infty A_n =\{ 1,2,\ldots\}=\mathbb N$ δεν είναι συμπαγές αφού δεν είναι φραγμένο.

Άσκηση 3 Υπόδειξη