Λύση

Έστω $\{ A_i ,\ i\in I\}$ μία ανοιχτή κάλυψη του $K$. Δηλαδή $K\subseteq \cup_{i\in I} A_i$. Υπάρχει $i_0 \in I$ τέτοιο ώστε $x\in A_{i_0}$. Το $A_{i_0}$ είναι ανοιχτό, άρα το $x$ είναι εσωτερικό σημείο του: υπάρχει $\varepsilon >0$ ώστε $N_x (\varepsilon )\subseteq A_{i_0}$.

Η ακολουθία $x_n$ συγκλίνει στο $x$ άρα υπάρχει $n_0(\varepsilon ) \in \mathbb N$ ώστε για κάθε $n \geq n_0$ να ισχύει $x_n \in N_x(\varepsilon )$. Άρα

$$\{x\}\cup \{x_n\ :\ n\geq n_0 \} \subseteq A_{i_0} .$$

Κάθε $x_n$ για $n=1,2,\ldots, n_0 -1$ είναι στοιχείο του $K\subseteq \cup_{i\in I} A_i$, άρα υπάρχει $i_n \in I$ ώστε $x_n \in A_{i_n}$. Έπεται οτι $K\subseteq A_{i_0}\cup A_{i_1} \cup \cdots\cup A_{i_{n_0 -1}}$, δηλαδή υπάρχει πεπερασμένη υποκάλυψη, άρα το $K$ είναι συμπαγές.

Άσκηση 4 Υπόδειξη