Άσκηση 5

Έστω μετρικός χώρος $(X,\varrho)$ και ακολουθία $\{ K_n\}$ μη κενών και συμπαγών υποσυνόλων του $X$ που είναι εγκιβωτισμένα δηλαδή: $K_1\supset K_2\supset \ldots \supset K_n \supset \ldots$. Αποδείξτε οτι η τομή τους είναι μη κενή. (Υπόδειξη: Θεωρείστε την ανοικτή κάλυψη του $K_1$ που αποτελείται από τα ${K_2}^c, {K_3}^c, \ldots ,$ αφού υποθέσετε οτι η τομή των $K_1, K_2, \ldots$ είναι κενή).

Υπόδειξη Λύση