Λύση

Χρησιμοποιούμε την απαγωγή σε άτοπο. Έστω οτι $\cap_{n=1}^\infty K_n =\emptyset$. Τότε $K_1\cap (K_2\cap\cdots\cap K_n\cap\cdots )=\emptyset$, δηλαδή:

$$K_1 \subseteq K_2^c \cup\cdots\cup K_n^c \cup\cdots .$$

Κάθε $K_n$ είναι συμπαγές άρα και κλειστό. Επομένως τα $K_2^c ,\ldots, K_n^c ,\ldots$ είναι ανοιχτά και αποτελούν κάλυψη του $K_1$. Αφού το $K_1$ είναι συμπαγές, υπάρχει πεπερασμένη υποκάλυψη. Υπάρχουν δηλαδή $n_1 <n_2 <\cdots <n_k$ ώστε

$$K_1 \subseteq K_{n_1}^c \cup \cdots \cup K_{n_k}^c =(K_{n_1} \cap \cdots\cap K_{n_k} )^c .$$

Άρα $K_1 \cap K_{n_1} \cap \cdots\cap K_{n_k} =\emptyset$. Όμως τα $K_n$ είναι εγκιβωτισμένα, άρα

$$K_1 \supseteq K_{n_1}\supseteq \cdots\supseteq K_{n_k} .$$

Οπότε $K_1 \cap K_{n_1} \cap \cdots\cap K_{n_k} =K_{n_k} \neq\emptyset$, άτοπο.

Άσκηση 5 Υπόδειξη