Συμπάγεια

Ορισμός 14   Λέμε οτι ((τα $A, B, \hbox{Γ}, \cdots$ αποτελούν κάλυψη του $M$)) αν $M \subseteq A\cup B\cup \hbox{Γ}\cup \cdots.$ Αν το πλήθος των $A, B, \hbox{Γ}, \cdots$ είναι πεπερασμένο τότε λέμε οτι αποτελούν πεπερασμένη κάλυψη του $M$. Αν $P, Q, R, \cdots$ είναι μερικά από τα $A, B, \hbox{Γ}, \cdots$ και τα $P, Q, R, \cdots$ επίσης αποτελούν κάλυψη του $M$ τότε λέμε οτι ((τα $P, Q, R, \cdots$ αποτελούν υπο-κάλυψη του $M$)) ή ότι ((η κάλυψη $A, B, \hbox{Γ}, \cdots$ του $M$ περιέχει την υποκάλυψη $P, Q, R, \cdots$ του $M$)). Αν επιπλέον το πλήθος των $P, Q, R, \cdots$ είναι πεπερασμένο τότε λέμε οτι ((η κάλυψη $A, B, \hbox{Γ}, \cdots$ του $M$ περιέχει την πεπερασμένη υπο-κάλυψη $P, Q, R, \cdots$ του $M$)).

Ορισμός 15   Έστω οτι $(X,\varrho)$ είναι, μετρικός χώρος. Αν τα $A, B, \hbox{Γ}, \cdots$ αποτελούν κάλυψη του $M$ και όλα τα $A, B, \hbox{Γ}, \cdots$ είναι ανοικτά υποσύνολα του $(X,\varrho)$ τότε λέμε οτι ((τα $A, B, \hbox{Γ}, \cdots$ αποτελούν ανοικτή κάλυψη του $M$)).

Ορισμός 16   Έστω $M$ υποσύνολο μετρικού χώρου $(X,\varrho)$. Το $M$ λέγεται φραγμένο αν υπάρχει $x_0\in X$ και θετικός αριθμός $R$ ώστε $M\subseteq N_{x_0} (R)$. Αν ένα σύνολο $M\subseteq X$, όπου $(X,\varrho)$ μετρικός χώρος, είναι συμπαγές τότε το $M$ είναι κλειστό και φραγμένο. Το αντίστροφο δεν είναι πάντα σωστό. Το αντίστροφο ισχύει όμως όταν ο $X$ είναι ο $\mathbb R^n$ με την συνήθη μετρική (Θεώρημα $\textlatin{Heine-Borel}$). Αν το $N$ είναι κλειστό υποσύνολο του συμπαγούς $M$ τότε και το $N$ είναι συμπαγές.

Θεώρημα 17   Έστω υποσύνολο $M$ του $\mathbb R^n$. Το $M$ είναι συμπαγές αν και μόνο αν οποιαδήποτε ακολουθία στο $M$ έχει υποακολουθία που συγκλίνει σε στοιχείο του $M$. Μια συνέπεια αυτού του θεωρήματος είναι ότι κάθε μη κενό και συμπαγές υποσύνολο του $\mathbb R$ έχει μέγιστο και ελάχιστο στοιχείο. Παρατηρούμε εδώ ότι το παραπάνω θεώρημα ισχύει και σε γενικούς μετρικούς χώρους και όχι μόνο στον $\mathbb R^n$.

Θεώρημα 18   Έστω $M$ συμπαγές υποσύνολο του $\mathbb R^n$ και συνάρτηση $f: M\longrightarrow \mathbb R^m$ συνεχής στο $M$. Τότε το $f(M)$ είναι συμπαγές υποσύνολο του $\mathbb R^m$. Δηλαδή ((η συνεχής εικόνα συμπαγούς συνόλου είναι συμπαγές σύνολο)) και αυτό το θεώρημα συνεχίζει να ισχύει στους γενικούς μετρικούς χώρους.

Ορισμός 19   Έστω μετρικοί χώροι $(X, \varrho), (Y, r) \hbox{και} \ A\subseteq X, \ f:A\longrightarrow Y.$ Η $f$ λέγεται ομοιόμορφα συνεχής στο $A$ αν για κάθε $\varepsilon >0$ υπάρχει $\delta = \delta(\varepsilon) > 0$ ώστε $x,y \in A, \varrho(x,y)<\delta \Longrightarrow r \Bigl ( f(x), f(y) \Bigr)<\varepsilon$.

Πρόταση 20   'Εστω $M$ συμπαγές υποσύνολο του $\mathbb R^n$ και συνάρτηση $f\!:\! M\longrightarrow \mathbb R^m$ συνεχής στο $M$. Τότε η $f$ είναι ομοιόμορφα συνεχής.