Next: Άσκηση 1
Up: No Title
Previous: Λύση
Ορισμός 14
Λέμε οτι ((τα
![$A, B, \hbox{Γ}, \cdots$](img351.gif)
αποτελούν
κάλυψη του
![$M$](img352.gif)
)) αν
![$M \subseteq A\cup B\cup \hbox{Γ}\cup \cdots.$](img353.gif)
Αν το πλήθος των
![$A, B, \hbox{Γ}, \cdots$](img351.gif)
είναι πεπερασμένο τότε λέμε οτι αποτελούν
πεπερασμένη κάλυψη του
![$M$](img352.gif)
.
Αν
![$P, Q, R, \cdots$](img354.gif)
είναι μερικά από τα
![$A, B, \hbox{Γ}, \cdots$](img351.gif)
και τα
![$P, Q, R, \cdots$](img354.gif)
επίσης αποτελούν κάλυψη του
![$M$](img352.gif)
τότε λέμε οτι ((τα
![$P, Q, R, \cdots$](img354.gif)
αποτελούν
υπο-κάλυψη του
![$M$](img352.gif)
))
ή ότι ((η κάλυψη
![$A, B, \hbox{Γ}, \cdots$](img351.gif)
του
![$M$](img352.gif)
περιέχει την υποκάλυψη
![$P, Q, R, \cdots$](img354.gif)
του
![$M$](img352.gif)
)).
Αν επιπλέον το πλήθος των
![$P, Q, R, \cdots$](img354.gif)
είναι πεπερασμένο τότε λέμε οτι ((η κάλυψη
![$A, B, \hbox{Γ}, \cdots$](img351.gif)
του
![$M$](img352.gif)
περιέχει την πεπερασμένη υπο-κάλυψη
![$P, Q, R, \cdots$](img354.gif)
του
![$M$](img352.gif)
)).
Ορισμός 15
Έστω οτι
![$(X,\varrho)$](img181.gif)
είναι, μετρικός χώρος. Αν τα
![$A, B, \hbox{Γ}, \cdots$](img351.gif)
αποτελούν κάλυψη του
![$M$](img352.gif)
και όλα τα
![$A, B, \hbox{Γ}, \cdots$](img351.gif)
είναι ανοικτά
υποσύνολα του
![$(X,\varrho)$](img181.gif)
τότε λέμε οτι ((τα
![$A, B, \hbox{Γ}, \cdots$](img351.gif)
αποτελούν
ανοικτή κάλυψη του
![$M$](img352.gif)
)).
Ορισμός 16
Έστω
![$M$](img352.gif)
υποσύνολο μετρικού χώρου
![$(X,\varrho)$](img181.gif)
.
Το
![$M$](img352.gif)
λέγεται
φραγμένο αν
υπάρχει
![$x_0\in X$](img330.gif)
και θετικός αριθμός
![$R$](img355.gif)
ώστε
![$M\subseteq N_{x_0} (R)$](img356.gif)
.
Αν ένα σύνολο
![$M\subseteq X$](img357.gif)
,
όπου
![$(X,\varrho)$](img181.gif)
μετρικός χώρος, είναι συμπαγές τότε το
![$M$](img352.gif)
είναι κλειστό και φραγμένο.
Το αντίστροφο δεν είναι πάντα σωστό. Το αντίστροφο ισχύει όμως όταν ο
![$X$](img173.gif)
είναι ο
![$\mathbb R^n$](img245.gif)
με την συνήθη μετρική (Θεώρημα
![$\textlatin{Heine-Borel}$](img358.gif)
).
Αν το
![$N$](img359.gif)
είναι κλειστό υποσύνολο του συμπαγούς
![$M$](img352.gif)
τότε και το
![$N$](img359.gif)
είναι συμπαγές.
Θεώρημα 17
Έστω υποσύνολο
![$M$](img352.gif)
του
![$\mathbb R^n$](img245.gif)
.
Το
![$M$](img352.gif)
είναι συμπαγές αν και μόνο αν οποιαδήποτε ακολουθία στο
![$M$](img352.gif)
έχει υποακολουθία που συγκλίνει σε στοιχείο του
![$M$](img352.gif)
.
Μια συνέπεια αυτού του θεωρήματος είναι ότι κάθε μη κενό και συμπαγές υποσύνολο του
![$\mathbb R$](img3.gif)
έχει μέγιστο και ελάχιστο στοιχείο. Παρατηρούμε
εδώ ότι το παραπάνω θεώρημα ισχύει και σε γενικούς μετρικούς χώρους και όχι μόνο στον
![$\mathbb R^n$](img245.gif)
.
Θεώρημα 18
Έστω
![$M$](img352.gif)
συμπαγές υποσύνολο του
![$\mathbb R^n$](img245.gif)
και συνάρτηση
![$f: M\longrightarrow \mathbb R^m$](img360.gif)
συνεχής στο
![$M$](img352.gif)
.
Τότε το
![$f(M)$](img361.gif)
είναι συμπαγές υποσύνολο του
![$\mathbb R^m$](img362.gif)
.
Δηλαδή ((η συνεχής εικόνα συμπαγούς συνόλου είναι συμπαγές σύνολο))
και αυτό το θεώρημα συνεχίζει να ισχύει στους γενικούς μετρικούς χώρους.
Ορισμός 19
Έστω μετρικοί χώροι
![$(X, \varrho), (Y, r) \hbox{και} \ A\subseteq X, \ f:A\longrightarrow Y.$](img363.gif)
Η
![$f$](img37.gif)
λέγεται
ομοιόμορφα συνεχής στο
![$A$](img11.gif)
αν για κάθε
![$\varepsilon >0$](img82.gif)
υπάρχει
![$\delta = \delta(\varepsilon) > 0$](img198.gif)
ώστε
![$x,y \in A, \varrho(x,y)<\delta \Longrightarrow r \Bigl ( f(x), f(y) \Bigr)<\varepsilon$](img364.gif)
.
Πρόταση 20
'Εστω
![$M$](img352.gif)
συμπαγές υποσύνολο του
![$\mathbb R^n$](img245.gif)
και συνάρτηση
![$f\!:\! M\longrightarrow \mathbb R^m$](img365.gif)
συνεχής στο
![$M$](img352.gif)
.
Τότε
η
![$f$](img37.gif)
είναι ομοιόμορφα συνεχής.
root
1999-07-29