Λύση

Θεωρούμε τη συνάρτηση $\rho_B : A\mapsto \mathbb R$ με $\rho_B (x)= \{\varrho (x,y):\ y\in B\}.$ Το $B$ είναι κλειστό και τα $A,B$ ξένα. Αν λοιπόν πάρουμε κάποιο $x\in A$ έχουμε $x\in B^c$ το οποίο είναι ανοιχτό. Άρα υπάρχει $\varepsilon _x$ ώστε $N_x (\varepsilon _x) \subseteq B^c$. Τότε $\varrho (x,y) \geq \varepsilon _x$ για κάθε $y\in B$ δηλαδή

$$\rho_B (x) \geq \varepsilon _x >0 .$$

Άρα η $\rho_B$ παίρνει γνήσια θετικές τιμές.

Η $\rho_B$ είναι συνεχής αφού $\vert\rho_B (x)-\rho_B (x^\prime )\vert\leq \rho (x, x^\prime )$. Το $A$ είναι συμπαγές, άρα η $\rho_Β$ παίρνει ελάχιστη τιμή. Υπάρχει $x_0 \in A$ ώστε $\rho_B (x) \geq\rho_B (x_0 )$ για κάθε $x\in A$.

Θέτουμε $\delta =\rho_B (x_0 )>0$. Έστω $x\in A$, $y\in B$. Τότε,

$$\varrho (x, y)\geq \inf \{ \varrho (x, y)\ :\ y\in B\} =\rho_B (x)\geq \rho_B (x_0) =\delta.$$

Άσκηση 6 Υπόδειξη