Λύση

Ψάχνουμε θετικό αριθμό $M$ με την ιδιότητα $\vert f(x)\vert\leq M$ για κάθε $x\in A$. To $A$ είναι φραγμένο, επομένως περιέχεται σε κάποιο διάστημα: έστω οτι

$$A\subseteq [\alpha ,b]\ ,\ \alpha <b\ \hbox{στο} \mathbb R.$$

H $f$ είναι ομοιόμορφα συνεχής στο $A$, άρα για $\varepsilon =1>0$ μπορούμε να βρούμε $\delta >0$ που αν $x, y \in A$ και $\vert x-y\vert<\delta$ τότε $\vert f(x)-f(y)\vert<1$. Βρίσκουμε $n\in \mathbb N$ αρκετά μεγάλο ώστε $\frac{b-\alpha}{n} <\delta$ και χωρίζουμε το $[\alpha , b]$ σε $n$ ίσα υποδιαστήματα $J_1, \ldots ,J_n$ μήκους $\frac{b-\alpha}{n}$. Από αυτά τα διαστήματα κρατάμε μόνο εκείνα που έχουν μη κενή τομή με το $A$: έστω $J^\prime _n, \ldots ,J^\prime _m$ εκείνα τα $J_i$ για τα οποία $J_i \cap A\neq \emptyset$. Σε κάθε $J^\prime _i\ ,\ i\leq m$ επιλέγουμε τυχόν $\alpha _i \in A$. Έχουμε δηλαδή

$$A \subseteq J^\prime _1 \cup \ldots \cup J^\prime _m \ \hbox{και } \alpha _i \in A \cap J^\prime _i \ ,\ i=1, \ldots ,m .$$

Θα δείξουμε οτι $\vert f(x)\vert \leq \max \{ \vert f(\alpha _1)\vert, \ldots ,\vert f(\alpha _m)\vert \}+1 \leq M$ Έστω $x\in A$. Υπάρχει $i\leq m$ του $x\in J^\prime _i$ και τότε $\vert x-\alpha _i \vert\leq \frac{b-\alpha }{n} <\delta$, οπότε

$$\vert f(x)-f(\alpha _i)\vert<1 \Rightarrow \vert f(x)\vert\leq \vert f(\alpha _i)\vert+1 \leq M.$$

Άσκηση 2 Υπόδειξη