Στοιχεία Θεωρίας

Πρόταση 7   Αν $V$ είναι διανυσματικός χώρος με εσωτερικό γινόμενο και $F\in {\cal L}(V,V)$ τότε υπάρχει $F^*\in {\cal L}(V,V)$ ώστε $(F(a),b)=(a,F^*(b))$ για κάθε $a,b\in V$. H απεικόνιση $F^*$ λέγεται δυϊκή της $F$. Αν $F=F^*$ τότε η $F$ λέγεται αυτοδυϊκή.

Θεώρημα 22   Μια γραμμική απεικόνιση $F$ είναι αυτοδυϊκή αν και μόνο αν ο πίνακας της $F$ ως προς μια ορθοκανονική βάση, έστω $A$, είναι ερμιτιανός ( $A=(\overline{A})^t=A^*)$.

Πόρισμα 6   Οι ιδιοτιμές μιας αυτοδυϊκής απεικόνισης είναι πραγματικές.

Πρόταση 8   Δύο ιδιοδιανύσματα που αντιστοιχούν σε διαφορετικές ιδιοτιμές μιας αυτοδυϊκής απεικόνισης είναι κάθετα μεταξύ τους.

Λήμμα 1   Αν $M$ είναι αναλλοίωτος υπόχωρος του διανυσματικού χώρου $V$ ως πρός μια αυτοδυϊκή απεικόνιση $F$, τότε ο $M^{\perp}$ είναι αναλλοίωτος ως προς $F$.

Θεώρημα 23 (Φασματικό Θεώρημα)   Αν $F\in {\cal L}(V,V)$ μια αυτοδυϊκή απεικόνιση του $V$, τότε ο $V$ έχει μια ορθοκανονική βάση που αποτελείται από ιδιοδιανύσματα της $F$.