Λύση

Έστω $a,b\in V$. Τότε

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$(a,(f+g)^*(b))=((f+g)(a),b)=(f(a)+g(a),b)= (f(a),b)+(g(a),b)=(a,f^*(b))+(a,g^*(b))=(a,f^*(b)+g^*(b))=(a,(f^*+g^*)(b)).$

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$(a,(\lambda f)^*(b))=((\lambda f)(a),b)=(\lambda f(a),b)=\lambda (f(a),b)= \lambda (a,f^*(b))=(a,\overline{\lambda }f^*(b))=(a,(\overline{\lambda }f^*)(b)).$

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$(a,(fg)^*(b))=((fg(a),b)=(f(g(a)),b)=(g(a),f^*(b))= (a,g^*(f^*(b)))=(a,(g^*f^*)(b)).$

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$(a,(f^*)^*(b))=(f^*(a),b)=\overline{(b,f^*(a))}=\overline{(f(b),a)}= (a,f(b)).$ Άρα $(f^*)^*=f$.