Λύση

Αν η $f$ είναι αυτοδυϊκή τότε $(f(a),a)=(a,f^*(a))=(a,f(a))=\overline{(f(a),a)}$ άρα το $(f(a),a)$ είναι πραγματικός αριθμός.

Αντίστροφα, αν $(f(a),a)\in \mathbb R$ για κάθε $a\in V$ τότε $(f(a+b),a+b)=(a+b,f(a+b))$ η οποία δίνει ισοδύναμα $(f(a),a)+(f(a),b)+(f(b),a)+(f(b),b)=(a,f(a))+(a,f(b))+(b,f(a))+(b,f(b))$. Αλλά $(f(a),a)=(a,f(a))$ και $(f(b),b)=(b,f(b))$ τότε

$$(f(a),b)+(f(b),a)=(a,f(b))+(b,f(a))\ \ \ \ \ \ (*)$$

Η $(*)$ ισχύει για κάθε $a,b\in V$. Στην θέση του $b$ θέτω $ib$. Τότε η $(*)$ γίνεται $(f(a),ib)+(f(ib),a)=(a,f(ib))+(ib,f(a))$ η οποία ισοδύναμα δίνει $-i(f(a),b)+i(f(b),a)=-i(a,f(b))+i(b,f(a))$ δηλαδή

$$(f(a),b)-(f(b),a)=(a,f(b))-(b,f(a))\ \ \ \ \ \ \ (**)$$

Αν προσθέσω τις $(*)$ και $(**)$ κατά μέλη παίρνω $2(f(a),b)=2(a,f(b))$ ή ισοδύναμα $(f(a),b)=(a,f(b))$. Άρα $f^*=f$.