Next: Άσκηση 1
Up: Iδιοτιμές - Ιδιοδιανύσματα
Previous: Iδιοτιμές - Ιδιοδιανύσματα
Ορισμός 1
Έστω
![$V$](img1.gif)
διανυσματικός χώρος και
![$A:V\rightarrow V$](img2.gif)
μια γραμμική απεικόνιση. Ένα
στοιχείο
![$v$](img3.gif)
του
![$V$](img1.gif)
λέγεται ιδιοδιάνυσμα του
![$A$](img4.gif)
αν υπάρχει αριθμός
![$\lambda $](img5.gif)
τέτοιος
ώστε
![$Av=\lambda v$](img6.gif)
.
Aν το
![$v\neq 0$](img7.gif)
τότε το
![$\lambda $](img5.gif)
είναι μοναδικά προσδιορισμένο
και λέγεται ιδιοτιμή του
![$Α$](img8.gif)
που αντιστοιχεί στο ιδιοδιάνυσμα
![$v$](img3.gif)
.
Λέμε πολλές
φορές ότι το
![$v$](img3.gif)
είναι το ιδιοδιάνυσμα που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή
![$\lambda $](img5.gif)
.
Παράδειγμα Aν
είναι ένας διαγώνιος πίνακας τότε κάθε διάνυσμα
,
είναι ένα
ιδιοδιάνυσμα του
.
Έχουμε
.
Θεώρημα 1
Έστω
![$V$](img1.gif)
διανυσματικός χώρος και
![$A:V\rightarrow V$](img2.gif)
γραμμική απεικόνιση.
Έστω
![$\lambda \in K$](img13.gif)
και
![$V_{\lambda }$](img14.gif)
ο υπόχωρος του
![$V$](img1.gif)
που παράγεται από τα ιδιοδιανύσματα του
![$A$](img4.gif)
που αντιστοιχούν στην ιδιοτιμή
![$\lambda $](img5.gif)
.
Tότε κάθε μη-μηδενικό στοιχείο του
![$V_{\lambda }$](img14.gif)
είναι ένα ιδιοδιάνυσμα του
![$A$](img4.gif)
με ιδιοτιμή
![$\lambda $](img5.gif)
.
Ο υπόχωρος
![$V_{\lambda }$](img14.gif)
λέγεται ο ιδιόχωρος που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή
![$\lambda $](img5.gif)
.
Θεώρημα 2
Έστω
![$V$](img1.gif)
ένας διανυσματικός χώρος και
![$A:V\rightarrow V$](img2.gif)
μια γραμμική απεικόνιση.
Έστω
![$v_1,\ldots ,v_m$](img15.gif)
ιδιοδιανύσματα της
![$A$](img4.gif)
με ιδιοτιμές
![$\lambda _1,\ldots ,\lambda _m$](img16.gif)
αντίστοιχα. Αν οι ιδιοτιμές είναι διαφορετικές μεταξύ τους, δηλαδή
![$\lambda _i\neq\lambda _j$](img17.gif)
όταν
![$i\neq j$](img18.gif)
τότε τα
![$v_1,\ldots ,v_m$](img15.gif)
είναι γραμμικά
ανεξάρτητα διανύσματα του
![$V$](img1.gif)
.
Ορισμός 2
Έστω
![$L:V\rightarrow V$](img19.gif)
μια γραμμική απεικόνιση.
Αν
![$\{v_1,\ldots, v_n\}$](img20.gif)
είναι μια βάση του διανυσματικού χώρου
![$V$](img1.gif)
λέμε ότι
η βάση αυτή διαγωνοποιεί την
![$L$](img21.gif)
αν κάθε
![$v_i$](img22.gif)
είναι ένα ιδιοδιάνυσμα
της
![$L$](img21.gif)
.
Σε αυτή την περίπτωση, ο πίνακας της
![$L$](img21.gif)
ως προς αυτή την βάση είναι
όπου
![$c_i$](img24.gif)
είναι οι ιδιοτιμές που αντιστοιχούν στα ιδιοδιανύσματα
![$v_i$](img22.gif)
.
Λέμε
ότι η γραμμική απεικόνιση
![$L$](img21.gif)
διαγωνοποιήται αν υπάρχει βάση του χώρου
![$V$](img1.gif)
που να αποτελείται από ιδιοδιανύσματα.
Θεώρημα 3
Έστω
![$V$](img1.gif)
ένας διανυσματικός χώρος πεπερασμένης διάστασης και
![$\lambda $](img5.gif)
ένας
αριθμός. Αν
![$A:V\rightarrow V$](img2.gif)
μια γραμμική απεικόνιση τότε ο
![$\lambda $](img5.gif)
είναι ιδιοτιμή
της
![$A$](img4.gif)
αν και μόνο αν ο πίνακας
![$A-\lambda I$](img25.gif)
δεν είναι αντιστρέψιμος.
Ορισμός 3
Aν
![$A$](img4.gif)
είναι ένας
![$n\times n$](img26.gif)
πίνακας, ορίζουμε το χαρακτηριστικό πολυώνυμο
του
![$Α$](img8.gif)
,
![$p_A$](img27.gif)
να είναι η ορίζουσα
Θεώρημα 4
Έστω
![$A$](img4.gif)
ένας
![$n\times n$](img26.gif)
πίνακας. Ένας αριθμός
![$\lambda $](img5.gif)
είναι μια
ιδιοτιμή του
![$A$](img4.gif)
αν και μόνο αν το
![$\lambda $](img5.gif)
είναι ρίζα του χαρακτηριστικού
πολυωνύμου.
Θεώρημα 5
Aν
![$Α$](img8.gif)
είναι ένας
![$n\times n$](img26.gif)
πίνακας με μιγαδικά στοιχεία. Τότε ο
![$A$](img4.gif)
έχει
ένα τουλάχιστον μη μηδενικό ιδιοδιάνυσμα και τουλάχιστον μια μιγαδική
ιδιοτιμή.
Θεώρημα 6
Aν
![$A$](img4.gif)
και
![$Β$](img30.gif)
είναι δύο
![$n\times n$](img26.gif)
πίνακες και ο
![$B$](img31.gif)
είναι αντιστρέψιμος
τότε το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του
![$A$](img4.gif)
είναι ίσο με το χαρακτηριστικό
πολυώνυμο του
![$B^{-1}AB$](img32.gif)
.
Mε άλλα λόγια, όμοιοι πίνακες έχουν το ίδιο
χαρακτηριστικό πολυώνυμο.
Θεώρημα 7 (Cayley - Hamilton)
Mιά γραμμική απεικόνιση
![$A:V\rightarrow V$](img2.gif)
μηδενίζει το χαρακτηριστικό της
πολυώνυμο.
Ορισμός 4
Έστω ένα πολυώνυμο
![$p_A$](img27.gif)
που μηδενίζεται από την απεικόνιση
![$A:V\rightarrow V$](img2.gif)
και
έχει πρώτο συντελεστή την μονάδα. Αν κάθε άλλο πολυώνυμο που μηδενίζεται
από την
![$A$](img4.gif)
έχει βαθμό μεγαλύτερο ή ίσο του
![$p_A$](img27.gif)
τότε το
![$p_A$](img27.gif)
λέγεται ελάχιστο πολυώνυμο της
![$A$](img4.gif)
.
Θεώρημα 8
Tο ελάχιστο πολυώνυμο μιας γραμμικής απεικόνισης είναι μονοσήμαντα
ορισμένο και διαιρεί το χαρακτηριστικό πολυώνυμο της απεικόνισης.
Πρόταση 1
Tο χαρακτηριστικό και το ελάχιστο πολυώνυμο μιας γραμμικής απεικόνισης
έχουν τις ίδιες ρίζες.
Vassilis Metaftsis
1999-09-15