Λύση

Έστω $B$ και $C$ στοιχεία του $V$. Τότε $L(B+C)=(B+C)A=BA+CA=L(B)+L(C)$. Eπίσης, $L(kB)=kBA=kL(B)$ και άρα η $L$ γραμμική. Έχουμε επίσης ότι $L^k(B)=L(L^{k-1}(B))=BA^K$ (με την βοήθεια της επαγωγής) για κάθε $k=1,\ldots$. Έστω τώρα $p(x)$ ένα πολυώνυμο με συντελεστές στο $K$. Tότε $p(L)(B)=Bp(A)$ και άρα $p(L)=0$ αν και μόνο αν $p(A)=0$. Άρα τα $L$ και $A$ έχουν τα ίδια ελάχιστα πολυώνυμα. Αντίθετα, για τα χαρακτηριστικά πολυώνυμα παρατηρούμε ότι το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του $A$ είναι βαθμού $n$ ενώ αυτό της $L$ είναι βαθμού $n^2$.