Λύση

Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο της $L$ είναι $p(x)=\left\vert\begin{array}{ccc} x-6 & 3 & 2\\ -4 & x+1 & 2\\ -10 & 5 & x+3 \end{array}\right\vert=(x^2+1)(x-2).$ Θέτω $V_1=Ker(L^2+1)$ και $V_2=Ker(L-2)$. Στην $L^2+1$ αντιστοιχεί ο πίνακας $\left(\begin{array}{ccc} 5 & -5 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 10 & -10 & 0 \end{array}\right)$ από τον οποία βρίσκω ότι το $V_1$ παράγεται από τα διανύσματα $(-2,0,1)$ και $(0,1,0)$. Στον $V_2$ αντιστοιχεί ο πίνακας $\left(\begin{array}{ccc} 4 & -3 & -2\\ 4 & -3 & -2\\ 10 & -5 & -5 \end{array}\right)$ από τον οποία βρίσκω ότι το $V_1$ παράγεται από το διάνυσμα $(1,-1,0)$. Άρα, ως προς την βάση $\{(-2,0,1),(0,1,0),(1,-1,0)\}$ ο $A$ είναι όμοιος με τον πίνακα $\left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0\\ -2 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 2 \end{array}\right).$