Λύση

Εφόσον ο πίνακας $A$ ικανοποιεί την σχέση $A^3-I=0$ έχουμε ότι το ελάχιστο πολυώνυμο του $A$ διαιρεί το πολυώνυμο $x^3-1=(x-1)(x-r_1)(x-r_2)$ όπου $r_1=\frac{-1-i\sqrt{3}}{2}$ και $r_2=\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}$. Άρα οι πιθανοί στοιχειώδεις διαιρέτες του πίνακα είναι οι παρακατω

.

$x-1$, $x-r_1$, $x-r_2$

.

$x-r_1$, $x-r_1$, $x-r_2$

.

$x-r_1$, $x-r_2$, $x-r_2$

.

$x-1$, $x-1$, $x-r_1$

.

$x-1$, $x-r_1$, $x-r_1$

.

$x-1$, $x-1$, $x-r_2$

.

$x-1$, $x-r_2$, $x-r_2$

.

$x-1$, $x-1$, $x-1$

.

$x-r_1$, $x-r_1$, $x-r_1$

.

$x-r_2$, $x-r_2$, $x-r_2$

Άρα οι πιθανές μορφές Jordan είναι οι εξής

.

$\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & r_1 & 0\\ 0 & 0 & r_2 \end{array}\right)$

.

$\left(\begin{array}{ccc} r_1 & 0 & 0\\ 0 & r_1 & 0\\ 0 & 0 & r_2 \end{array}\right)$

.

$\left(\begin{array}{ccc} r_1 & 0 & 0\\ 0 & r_2 & 0\\ 0 & 0 & r_2 \end{array}\right)$

.

$\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & r_1 \end{array}\right)$

.

$\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & r_1 & 0\\ 0 & 0 & r_1 \end{array}\right)$

.

$\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & r_2 \end{array}\right)$

.

$\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & r_2 & 0\\ 0 & 0 & r_2 \end{array}\right)$

.

$\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)$

.

$\left(\begin{array}{ccc} r_1 & 0 & 0\\ 0 & r_1 & 0\\ 0 & 0 & r_1 \end{array}\right)$

.

$\left(\begin{array}{ccc} r_2 & 0 & 0\\ 0 & r_2 & 0\\ 0 & 0 & r_2 \end{array}\right).$