Λύση

Υποθέτω ότι η dim$V=n$ και η dim(Im$F)>$dim$V$. Τότε υπάρχουν διανύσματα $w_1,\ldots ,w_{n+1}\in {\rm Im}F$ τα οποία είναι γραμμικώς ανεξάρτητα. Έστω $v_1,\ldots ,v_{n+1}\in V$ ώστε $F(v_i)=w_i$. Έστω $x_1,\ldots ,x_{n+1}$ στοιχεία του σώματος $K$ ώστε $x_1v_1+\ldots +x_{n+1}v_{n+1}=0$. Τότε $0=F(0)=F(x_1v_1+\ldots+x_{n+1}v_{n+1})=x_1F(v_1)+\ldots+x_nF(v_{n+1})= x_1w_1+\ldots+x_{n+1}w_{n+1}$. Όμως, η γραμμική ανεξαρτησία των $w_i$ συνεπάγεται ότι $x_1=x_2=\ldots=x_{n+1}=0$ και άρα τα στοιχεία $v_1,\ldots , v_{n+1}$ είναι γραμμικώς ανεξάρτητα, άτοπο μιας και η διάσταση του $V$ είναι $n$. Άρα dim(Im$F)\le$dim$V$.