Λύση

Θεωρούμε την συνήθη βάση του $\mathbb R^3$, $e_1,e_2,e_3$. Eφόσον τα διανύσματα $e_1,e_2,e_3$ είναι γραμμικώς ανεξάρτητα από Θεώρημα 18 υπάρχει μοναδική απεικόνιση $F$ ώστε $F(e_1)=(1,2,0,-4)$, $F(e_2)=(2,0,-1,-3)$ και $F(e_3)=(0,0,0,0)$. Επιπλέον, η Im$F$ παράγεται από τα διανύσματα που μας δίνονται αφού κάθε στοιχείο του $\mathbb R^3$ παράγεται από τα $e_1,e_2,e_3$. Άρα η παραπάνω είναι η ζητούμενη γραμμική απεικόνιση. Ο γενικός τύπος της $F$ δίνεται από την

$$F(x,y,z)=F(xe_1+ye_2+ze_3)=$$

$$x(1,2,0,-4)+y(2,0,-1,-3)= (x+2y,2x,-y,-4x-3y).$$