Λύση

Αφού η $F$ είναι μηδενοδύναμη, η $F^n=0$. Άρα ισχύει η ταυτότητα

$$(F+I)((-1)^{n-1}F^{n-1}+(-1)^{n-2}F^{n-2}+\ldots -F+I)=F^n+I=Ι.$$

Oι απεικονίσεις

$$F_1=F+I$$

και

$$F_2=(-1)^{n-1}F^{n-1}+(-1)^{n-2}F^{n-2}+\ldots -F+I$$

είναι γραμμικές, σαν σύνθεση γραμμικών απεικονίσεων. Η παραπάνω εξίσωση γίνεται $F_1\circ F_2=I$ και ξέρω ότι η $I$ είναι 1-1 και επί. Άρα και η $F_1\circ F_2$ είναι 1-1 και επί άρα η $F_1$ είναι 1-1 και η $F_2$ είναι επί. Όμως και οι δύο απεικονίσεις $F_1$ και $F_2$ είναι ορισμένες από το $V$ στο $V$ και άρα είναι 1-1 και επί.