Next: Άσκηση 49
Up: Γραμμικές Απεικονίσεις και Πίνακες
Previous: Γραμμικές Απεικονίσεις και Πίνακες
Ορισμός 26
Έστω
![$A=\left(\begin{array}{ccc} a_{11} & \ldots & a_{1n}\\ \vdots
& & \vdots\\ a_{m1} & \ldots & a_{mn}
\end{array}\right)$](img709.gif)
ένας
![$m\times n$](img398.gif)
πίνακας με στοιχεία στο σώμα
![$K$](img1.gif)
.
Η γραμμική απεικόνιση που αντιστοιχεί στον
![$A$](img405.gif)
είναι η
![$L_A:K^n\rightarrow K^m$](img710.gif)
με
![$L_A(X)=AX$](img711.gif)
για κάθε
![$X\in K^n$](img712.gif)
.
Η
![$L_A$](img713.gif)
είναι γραμμική απεικόνιση.
Θεώρημα 25
Αν
![$A,B$](img439.gif)
είναι
![$m\times n$](img398.gif)
πίνακες και
![$L_A=L_B$](img714.gif)
τότε
![$A=B$](img715.gif)
.
Με άλλα λόγια
αν οι απεικονίσεις που αντιστοιχούν στους πίνακες
![$A,B$](img439.gif)
είναι ίσες τότε
και οι πίνακες είναι ίσοι.
Θεώρημα 26
Αν
![$L:K^n\rightarrow K^m$](img716.gif)
είναι μια γραμμική απεικόνιση τότε υπάρχει μοναδικός
πίνακας
![$A$](img405.gif)
ώστε
![$L=L_A$](img717.gif)
.
Θεώρημα 27
Έστω
![$A$](img405.gif)
είναι ένας
![$n\times n$](img434.gif)
πίνακας και
![$A^1,\ldots ,A^n$](img718.gif)
οι στήλες του
![$A$](img405.gif)
.
Τότε ο
![$A$](img405.gif)
είναι αντιστρέψιμος αν και μόνο αν τα
![$A^1,\ldots ,A^n$](img718.gif)
είναι γραμμικώς ανεξάρτητα στοιχεία.
Θεώρημα 28
Έστω
![$V,W$](img555.gif)
διανυσματικοί χώροι με βάσεις
![${\cal B}=\{ v_1, \ldots
,v_n\}$](img719.gif)
και
![${\cal B}'=\{w_1,\ldots ,w_m\}$](img720.gif)
αντίστοιχα. Aν
![$X$](img721.gif)
είναι το
διάνυσμα συντεταγμένων ενός στοιχείου
![$v\in V$](img17.gif)
ως προς την βαση
![${\cal B}$](img81.gif)
τότε υπάρχει μια μοναδική γραμμική απεικόνιση
![$F:K^n\rightarrow K^m$](img722.gif)
με πίνακα
![$A$](img405.gif)
τέτοια ώστε το
![$AX$](img723.gif)
να είναι το διάνυσμα
συντεταγμένων του
![$F(v)$](img724.gif)
ως προς την βάση
![${\cal B}'$](img725.gif)
.
O πίνακας
![$A$](img405.gif)
συμβολίζεται με
![$M_{{\cal B}'}^{{\cal B}}(F)$](img726.gif)
ενώ τα αντίστοιχα διανύσματα
συνταταγμένων συμβολίζονται με
![$X_{{\cal B}}(v)$](img727.gif)
.
Θεώρημα 29
Έστω
![$V,W$](img555.gif)
διανυσματικοί χώροι και
![$F: V\rightarrow W$](img558.gif)
γραμμική απεικόνιση. Έστω
![${\cal B}$](img81.gif)
μια βάση του
![$V$](img14.gif)
και
![${\cal B}'$](img725.gif)
μια βάση του
![$W$](img34.gif)
.
Aν
![$v\in V$](img17.gif)
τότε
Θεώρημα 30
Έστω
![$V,W$](img555.gif)
διανυσματικοί χώροι,
![${\cal B}$](img81.gif)
βάση του
![$V$](img14.gif)
και
![${\cal B}'$](img725.gif)
βάση του
![$W$](img34.gif)
.
Έστω
![$f,g$](img260.gif)
γραμμικές απεικονίσεις από το
![$V$](img14.gif)
στο
![$W$](img34.gif)
.
Αν
![$M=M_{{\cal B}'}^{{\cal B}}$](img729.gif)
τότε
![$M(f+g)=M(f)+M(g)$](img730.gif)
.
Επιπλέον, αν
![$c\in K$](img50.gif)
τότε
![$M(cf)=cM(f)$](img731.gif)
.
Η απεικόνιση
![$f\rightarrow M_{{\cal B}'}^{{\cal B}}(f)$](img732.gif)
είναι ισομορφισμός μεταξύ του
χώρου των γραμμικών απεικονίσεων
![${\cal L}(V,W)$](img733.gif)
και του χώρου
των
![$m\times n$](img398.gif)
πινάκων (
![${\rm dim}V=n$](img734.gif)
,
![${\rm dim}W=m$](img735.gif)
).
Θεώρημα 31
Έστω
![$V,W,U$](img736.gif)
διανυσματικοί χώροι. Έστω
![${\cal B},{\cal B}',{\cal B}''$](img737.gif)
βάσεις των
![$V,W,U$](img736.gif)
αντίστοιχα. Aν
![$F: V\rightarrow W$](img558.gif)
και
![$G:W\rightarrow U$](img738.gif)
γραμμικές απεικονίσεις τότε
Ορισμός 27
Αν
![$F:V\rightarrow V$](img740.gif)
γραμμική απεικόνιση και
![${\cal B}$](img81.gif)
βάση του
![$V$](img14.gif)
,
ο πίνακας
![$M_{{\cal B}}^{{\cal B}}(F)$](img741.gif)
καλείται ο πίνακας της
![$F$](img386.gif)
ως προς
![${\cal B}$](img81.gif)
.
Πόρισμα 10
Αν
![$V$](img14.gif)
διανυσματικός χώρος και
![${\cal B},{\cal B}'$](img742.gif)
βάσεις του
![$V$](img14.gif)
τότε
Ειδικότερα, ο πίνακας
![$M_{{\cal B}'}^{{\cal B}}(id)$](img744.gif)
είναι αντιστρέψιμος.
Θεώρημα 32
Έστω
![$F:V\rightarrow V$](img740.gif)
γραμμική απεικόνιση και
![${\cal B},{\cal B}'$](img742.gif)
βάσεις του
![$V$](img14.gif)
.
Τότε υπάρχει αντιστρέψιμος πίνακας
![$N$](img745.gif)
τέτοιος ώστε
Eιδικότερα, μπορούμε
να πάρουμε
![$N=M_{{\cal B}}^{{\cal B}'}(id)$](img747.gif)
.
Ορισμός 28
Δύο πίνακες
![$M,M'$](img748.gif)
λέγονται όμοιοι αν υπάρχει αντιστρέψιμος πίνακας
![$N$](img745.gif)
ώστε
![$M'=N^{-1}MN$](img749.gif)
.
Vassilis Metaftsis
1999-09-15