Στοιχεία Θεωρίας

Ορισμός 26   Έστω $A=\left(\begin{array}{ccc} a_{11} & \ldots & a_{1n}\\ \vdots & & \vdots\\ a_{m1} & \ldots & a_{mn} \end{array}\right)$ ένας $m\times n$ πίνακας με στοιχεία στο σώμα $K$. Η γραμμική απεικόνιση που αντιστοιχεί στον $A$ είναι η $L_A:K^n\rightarrow K^m$ με $L_A(X)=AX$ για κάθε $X\in K^n$. Η $L_A$ είναι γραμμική απεικόνιση.

Θεώρημα 25   Αν $A,B$ είναι $m\times n$ πίνακες και $L_A=L_B$ τότε $A=B$. Με άλλα λόγια αν οι απεικονίσεις που αντιστοιχούν στους πίνακες $A,B$ είναι ίσες τότε και οι πίνακες είναι ίσοι.

Θεώρημα 26   Αν $L:K^n\rightarrow K^m$ είναι μια γραμμική απεικόνιση τότε υπάρχει μοναδικός πίνακας $A$ ώστε $L=L_A$.

Θεώρημα 27   Έστω $A$ είναι ένας $n\times n$ πίνακας και $A^1,\ldots ,A^n$ οι στήλες του $A$. Τότε ο $A$ είναι αντιστρέψιμος αν και μόνο αν τα $A^1,\ldots ,A^n$ είναι γραμμικώς ανεξάρτητα στοιχεία.

Θεώρημα 28   Έστω $V,W$ διανυσματικοί χώροι με βάσεις ${\cal B}=\{ v_1, \ldots ,v_n\}$ και ${\cal B}'=\{w_1,\ldots ,w_m\}$ αντίστοιχα. Aν $X$ είναι το διάνυσμα συντεταγμένων ενός στοιχείου $v\in V$ ως προς την βαση ${\cal B}$ τότε υπάρχει μια μοναδική γραμμική απεικόνιση $F:K^n\rightarrow K^m$ με πίνακα $A$ τέτοια ώστε το $AX$ να είναι το διάνυσμα συντεταγμένων του $F(v)$ ως προς την βάση ${\cal B}'$. O πίνακας $A$ συμβολίζεται με $M_{{\cal B}'}^{{\cal B}}(F)$ ενώ τα αντίστοιχα διανύσματα συνταταγμένων συμβολίζονται με $X_{{\cal B}}(v)$.

Θεώρημα 29   Έστω $V,W$ διανυσματικοί χώροι και $F: V\rightarrow W$ γραμμική απεικόνιση. Έστω ${\cal B}$ μια βάση του $V$ και ${\cal B}'$ μια βάση του $W$. Aν $v\in V$ τότε

$$X_{{\cal B}'}(F(v))=M_{{\cal B}'}^{{\cal B}}(F)X_{{\cal B}}(v).$$

Θεώρημα 30   Έστω $V,W$ διανυσματικοί χώροι, ${\cal B}$ βάση του $V$ και ${\cal B}'$ βάση του $W$. Έστω $f,g$ γραμμικές απεικονίσεις από το $V$ στο $W$. Αν $M=M_{{\cal B}'}^{{\cal B}}$ τότε $M(f+g)=M(f)+M(g)$. Επιπλέον, αν $c\in K$ τότε $M(cf)=cM(f)$. Η απεικόνιση $f\rightarrow M_{{\cal B}'}^{{\cal B}}(f)$ είναι ισομορφισμός μεταξύ του χώρου των γραμμικών απεικονίσεων ${\cal L}(V,W)$ και του χώρου των $m\times n$ πινάκων (${\rm dim}V=n$, ${\rm dim}W=m$).

Θεώρημα 31   Έστω $V,W,U$ διανυσματικοί χώροι. Έστω ${\cal B},{\cal B}',{\cal B}''$ βάσεις των $V,W,U$ αντίστοιχα. Aν $F: V\rightarrow W$ και $G:W\rightarrow U$ γραμμικές απεικονίσεις τότε

$$M_{{\cal B}''}^{{\cal B}'}(G)M_{{\cal B}'}^{{\cal B}}(F)=M_{{\cal B}''}^{{\cal B}}(G\circ F).$$

Ορισμός 27   Αν $F:V\rightarrow V$ γραμμική απεικόνιση και ${\cal B}$ βάση του $V$, ο πίνακας $M_{{\cal B}}^{{\cal B}}(F)$ καλείται ο πίνακας της $F$ ως προς ${\cal B}$.

Πόρισμα 10   Αν $V$ διανυσματικός χώρος και ${\cal B},{\cal B}'$ βάσεις του $V$ τότε

$$M_{{\cal B}'}^{{\cal B}}(id)M_{{\cal B}}^{{\cal B}'}(id)=I=M_{{\cal B}}^{{\cal B}'}(id)M_{{\cal B}'}^{{\cal B}}(id).$$

Ειδικότερα, ο πίνακας $M_{{\cal B}'}^{{\cal B}}(id)$ είναι αντιστρέψιμος.

Θεώρημα 32   Έστω $F:V\rightarrow V$ γραμμική απεικόνιση και ${\cal B},{\cal B}'$ βάσεις του $V$. Τότε υπάρχει αντιστρέψιμος πίνακας $N$ τέτοιος ώστε

$$M_{{\cal B}'}^{{\cal B}'}(F)=N^{-1}M_{{\cal B}}^{{\cal B}}(F)N.$$

Eιδικότερα, μπορούμε να πάρουμε $N=M_{{\cal B}}^{{\cal B}'}(id)$.

Ορισμός 28   Δύο πίνακες $M,M'$ λέγονται όμοιοι αν υπάρχει αντιστρέψιμος πίνακας $N$ ώστε $M'=N^{-1}MN$.