Λύση

Το $F(1,1,0)=(3,-1,-2)$. Έστω $a,b,c\in\mathbb R$ ώστε $(3,-1,-2)= a(2,1,1)+b(0,0,1)+c(-1,1,1)$. Το σύστημα που προκύπτει δίνει

$$\begin{array}{ccccccc} 2a & & & - & c &=& 3\\ a & & & + & c &=& -1\\ a &+ & b & + & c &=&-2 \end{array}$$

το οποίο δίνει $a=-\frac{8}{3}$, $b=\frac{7}{3}$ και $c=-\frac{5}{3}$. Το $F(-1,1,1)=(0,-1,-1)=a(2,1,1)+b(0,0,1)+c(-1,1,1)$. Το σύστημα που προκύπτει είναι

$$\begin{array}{ccccccc} 2a & & & - & c &=& 0\\ a & & & + & c &=& -1\\ a &+ & b & + & c &=& -1 \end{array}$$

το οποίο δίνει $a=-\frac{1}{3}$, $b=0$ και $c=-\frac{2}{3}$. Τέλος, το $F(0,1,2)=(0,5,-3)=a(2,1,1)+b(0,0,1)+c(-1,1,1)$. Το σύστημα που προκύπτει είναι

$$\begin{array}{ccccccc} 2a & & & - & c &=& 0\\ a & & & + & c &=& 5\\ a &+ & b & + & c &=& -3 \end{array}$$

οι λύσεις του οποίου είναι $a=\frac{5}{3}$, $b=-8$ και $c=\frac{10}{3}$. Άρα

$$M_{{\cal B}'}^{{\cal B}}(F)=\left(\begin{array}{ccc} -\frac... ...-\frac{5}{3} & -\frac{2}{3} & \frac{10}{3} \end{array}\right).$$