Λύση

Εύκολα βλέπουμε ότι $L_A(e_1)=Ae_1^t=0$, $L_A(e_2)=Ae_2^t=e_1$, $L_A(e_3)=Ae_3^t=e_2$ ,$\ldots$ , $L_A(e_n)=Ae_n^t=e_{n-1}$. Άρα, $A(e_i)=e_{i-1}$ για κάθε $i=2,\ldots n$ και $A(e_1)=0$. Όμοια, $A^2(e_i)=A(A(e_i))=e_{i-2}$ για κάθε $i=3,\ldots ,n$ και $A^2(e_i)=0$ για $i=1,2$. Γενικότερα, $A^k(e_i)=e_{i-k}$ για κάθε $i=κ+1,\ldots ,n$ και $A^k(e_i)=0$ για κάθε $i=1,\ldots ,k$. Άρα, $A^n(e_i)=0$ για κάθε $i=1,\ldots ,n$ και συνεπώς $A^n=0$ και $A^{n-1}\neq 0$ εφόσον $A^{n-1}(e_n)=e_1$.