Λύση

Θέτω $w_1=v_1=(1,1,1,1)$. Τότε,

$$w_2=v_2-\frac{(v_2,w_1)}{(w_1,w_1)}w_1=(1,2,4,5)-\frac{12}{4}(1,1,1,1)=(-2,-1,1,2).$$

$$w_3=v_3-\frac{(v_3,v_1)}{(w_1,w_1)}w_1-\frac{(v_3,w_2)}{(w_2,w_2)}w_2=$$

$$(1,-3,-4,-2)-\frac{-8}{4}(1,1,1,1)-\frac{-7}{10}(-2,-1,1,2)=$$

$$(\frac{8}{5},-\frac{17}{10},-\frac{13}{10},\frac{7}{5}).$$

Για να αποφύγουμε πράξεις με κλάσματα, αντικαθιστούμε το $w_3$ με το $10w_3$ και παίρνουμε $w_3=(16,-17,-13,14)$. Τα $w_1,w_2,w_3$ αποτελούν ορθογώνια βάση του υπόχωρου. Για να κανονικοποιήσουμε την βάση βρίσκουμε $\Vert w_1\Vert^2=4$, $\Vert w_2\Vert^2=10$ και $\Vert w_3\Vert^2=910$. Άρα τα παρακάτω διανύσματα είναι μια ορθοκανονική βάση του υπόχωρου: $u_1=\frac{1}{2}(1,1,1,1)$, $u_2=\frac{1}{\sqrt{10}}(-2,-1,1,2)$ και $u_3=\frac{1}{\sqrt{910}}(16,-17,-13,14).$