Λύση

Επειδή τα στοιχεία που παράγουν των $W$ είναι δυνάμεις του $t$, υπολογίζω τον γενικό τύπο του εσωτερικού γινομένου

$$(t^r,t^s)=\int_{-1}^1t^{r+s}dt=\left[\frac{t^{r+s+1}}{r+s+1} ... ...x{ άρτιος}}\\ 0 & r+s+1 \ {\mbox{ περιττός}} \end{array}\right.$$

Θέτω $f_1=1$. Tότε

$$f_2=t-\frac{(t,1)}{(1,1)}1=t-\frac{0}{2}1=t.$$

$$f_3=t^2-\frac{(t^2,1)}{(1,1)}1-\frac{(t^2,t)}{(t,t)}t= t^2-\frac{\frac{2}{3}}{2}1-\frac{0}{\frac{2}{3}}=t^2-\frac{1}{3}.$$

$$f_4=t^3-\frac{(t^3,1)}{(1,1)}1-\frac{(t^3,t)}{(t,t)}t-$$

$$\frac{(t^3,t^2-\frac{1}{3}}{(t^2-\frac{1}{3},t^2-\frac{1}{3})}(t^2-\frac{1}{3})=$$

$$t^3-01-\frac{\frac{2}{5}}{\frac{2}{3}}t-0(t^2-\frac{1}{3})=t^3-\frac{3}{5}t.$$

Άρα η $\{1,t,t^2-\frac{1}{3},t^3-\frac{3}{5}t\}$ είναι η ζητούμενη ορθογώνια βάση.