Λύση

Έστω $V_n$ η αρχική ορίζουσα. Πολλαπλασιάζω κάθε στήλη με $x_1$ και αφαιρώ από την επόμενη, αρχίζοντας από την δεύτερη από δεξιά. Έτσι παίρνω

$$V_n=\left\vert\begin{array}{ccccc} 1 & x_1-x_1 & x_1^2-x_1^2 ... ...-x_nx_1&\ldots & x_n^{n-1}-x_n^{n-2}x_1 \end{array}\right\vert=$$

$$\left\vert\begin{array}{cccc} 1 & 0 & \ldots & 0\\ 1 & x_2-x... ...& x_n-x_1 & \ldots & x_n^{n-2}(x_n-x_1) \end{array}\right\vert.$$

Αναπτύσσω ως προς την γραμμή 1 και παίρνω:

$$V_n=(x_n-x_1)\ldots (x_2-x_1) \left\vert\begin{array}{cccc} 1... ...^{n-1} \end{array}\right\vert=(x_n-x_1)\ldots (x_2-x_1)V_{n-1}.$$

Συνεχίζοντας με τον ίδιο τρόπο παίρνουμε τελικά ότι

$$V_n=\prod_{i<j}(x_j-x_i).$$