Λύση

Υποθέτω ότι

$$x(u+v)+y(u-v)+z(u-2v+w)={\bf0}$$

όπου $x,y,z$ στοιχεία του σώματος. Τότε

$$(x+y+z)u+(x-y-2z)v+zw={\bf0}$$

. Αλλά ξέρουμε ότι τα $u,v,w$ είναι γραμμικώς ανεξάρτητα, άρα στην παραπάνω εξίσωση οι συντελεστές των $u,v,w$ είναι μηδέν. Άρα $x+y+z=0$, $x-y-2z=0$ και $z=0$. Xρησιμοποιώντας την τρίτη εξίσωση λύνουμε τις δύο πρώτες και βρίσκουμε $x=y=z=0$. Άρα τα $u+v,u-v,u-2v+w$ είναι γραμμικώς ανεξάρτητα.