Λύση

Έστω $x,y$ στοιχεία του $\mathbb R$ ώστε $x(a,b)+y(c,d)=(0,0)$. Το σύστημα που προκύπτει είναι το

$$\begin{array}{ccccc} xa & + & yc & = & 0\\ xb & + & yd & = & 0 \end{array}.$$

Πολλαπλασιάζω την πρώτη εξίσωση με $-b$ και την δεύτερη με $a$ και προσθέτω τις δύο εξισώσεις. Παίρνω $ady-bcy=0$ ή $(ad-bc)y=0$. H τελευταία εξίσωση έχει μη-μηδενική λύση αν $ad-bc=0$, άρα τα διανύσματα είναι γραμμικώς εξαρτημένα αν και μόνο αν $ad-bc=0$.