Λύση

Έστω $x_1,\ldots ,x_n$ στοιχεία του σώματος τέτοια ώστε $x_1v_1+\ldots +x_nv_n={\bf0}$. Πολλαπλασιάζω την παραπάνω εξίσωση με $v_i$ για κάθε $i=1,\ldots ,n$ και παίρνω

$$v_1\cdot (x_1v_1+\ldots +x_nv_n)={\bf0}, \ldots , v_n\cdot (x_1v_1+\ldots +x_nv_n)={\bf0}$$

. Aπό την πρώτη εξίσωση έχω

$$x_1v_1\cdot v_1+x_2v_1\cdot v_2+\ldots +x_nv_1\cdot v_n={\bf0}.$$

Eπειδή τα διανύσμτα είναι κάθετα αν δύο έχω ότι $v_i\cdot v_j=0$ για κάθε $i\neq j$. Άρα η πρώτη εξίσωση δίνει $x_1v_1\cdot v_1={\bf0}$ και εφόσον το $v_1$ είναι μη-μηδενικό έχω ότι $x_1=0$. Όμοια, αν εξετάσω τις υπόλοιπες εξισώσεις παίρνω ότι $x_i=0$ για κάθε $i=1,\ldots ,n$. Άρα τα $v_1,\ldots ,v_n$ γραμμικώς ανεξάρτητα.