Λύση

Θα δείξουμε πρώτα ότι τα $e_i$, $i=1,\ldots ,n$ παράγουν τον $V$. Πράγματι, αν $x\in V$, το

$$x=(x_1,\ldots ,x_n)=x_1(1,0,\ldots ,0)+\ldots + x_n(0,0,\ldots ,x_n)=x_1e_1+\ldots +x_ne_n.$$

Θα δείξουμε τώρα ότι τα $e_1,\ldots ,e_n$ είναι γραμμικώς ανεξάρτητα. Πράγματι, αν $y_1,\ldots ,y_n \in K$ ώστε $y_1e_1+\ldots +y_ne_n={\bf0}$ τότε $(y_1,\ldots ,y_n)=(0,\ldots ,0)$ και άρα $y_i=0$ για κάθε $i=1,\ldots ,n$. Συνεπώς, τα $e_i$ είναι γραμμικώς ανεξάρτητα.