Λύση

Αν $(x,y,z)$ είναι ένα τυχαίο στοιχείο του $V$, υποθέτω ότι υπάρχουν $a,b,c\in\mathbb R$ ώστε

$$(x,y,z)=a(1,0,0)+b(1,1,0)+c(0,1,1)=(a+b,b+c,c).$$

To παραπάνω σύστημα δίνει $z=c$, $b=y-z$ και $a=x+z-y$. Aν τώρα $(x,y,z)\in U\cap W$ τότε υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί $k,l,m$ ώστε $k(1,0,0)=l(1,1,0)+m(0,1,1)$ ή ισοδύναμα $(k,0,0)=(l,l+m,m)$ από το οποίο παίρνουμε $k=l=m=0$. Άρα $U \cap W=\{{\bf0}\}$ και τελικά $V=U\otimes W$.