Λύση

Υποθέτω ότι

$$\sum_{j_1}^{n_1}a_{1j_1}u_{1j_1}+\ldots +\sum_{j_r=1}^{n_r}a_{rj_r}u_{rj_r}={\bf0}$$

όπου τα $a_{ij_i}$ στοιχεία του σώματος. Κάθε $\sum_{j_i}a_{ij_i}u_{ij_i}$ ανήκει στο $U_i$. Eφόσον το $V$ είναι το ευθύ άθροισμα των $U_i$ το μόνο κοινό στοιχείο των $U_i$ είναι το ${\bf0}$ και άρα $\sum_{j_i}a_{ij_i}u_{ij_i}={\bf0}$ για κάθε $i=1,\ldots ,r$. Αλλά τα στοιχεία των ${\cal B}_i$ είναι γραμμικώς ανεξάρτητα επομένως τα $a_{ij_i}$ είναι μηδέν για κάθε $i=1,\ldots ,r$. Mε άλλα λόγια το ${\cal B}$ αποτελείται από γραμμικά ανεξάρτητα στοιχεία.