Λύση

Αρχικά βλέπω ότι ${\bf0}=(0,0,0)\in M$. Επιπλέον, αν $(x_1,y_1,z_1),(x_2,y_2,z_2)\in M$ τότε $x_1+y_1=3z_1$ και $x_2+y_2=3z_2$. Συνεπώς,

$$(x_1,y_1,z_1)+(x_2,y_2,z_2)=(x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z_2)$$

με

$$(x_1+x_2)+(y_1+y_2)=(x_1+y_1)+(x_2+y_2)=3z_1+3z_2=3(z_1+z_2).$$

Τέλος, αν $c\in \mathbb R$ τότε $c(x_1,y_1,z_1)=(cx_1,cy_1,cz_1)\in M$ γιατί

$$cx_1+cy_1=c(x_1+y_1)=3cz_1.$$

Άρα ο $M$ είναι διανυσματικός υπόχωρος του $\mathbb R^3$.

Eύκολα βλέπω ότι

$$M=\{(x,y,(x+y)/3\mid x,y\in\mathbb R\}=\{(x,3z-x,z)\mid x,z\in\mathbb R\}.$$

Άρα τα σύνολα $\{(1,0,1/3),(0,1,1/3)\}$ και $\{(1,-1,0),(0,3,1)\}$ αποτελούν βάσεις του $M$. Θεωρώ $N_1=<(0,1,0)>$ τον υπόχωρο του $\mathbb R^3$ που παράγεται από το στοιχείο $(0,1,0)$ και $N_2=<(0,0,1)>$ τον υπόχωρος που παράγεται από το $(0,0,1)$. Είναι φανερό ότι $N_1\neq N_2$. Θα δείξω πρώτα ότι $M+N_1=\mathbb R^3=M+N_2$. Πράγματι, αν $(x,y,z)\in\mathbb R^3$ τότε

$$(x,y,z)=x(1,0,1/3)+y(0,1,1/3)+(z-\frac{x+y}{3})(0,0,1)$$

και

$$(x,y,z)=x(1,-1,0)+(y-3z+x)(0,1,0)+z(0,3,1)$$

και στις δύο περιπτώσεις το $(x,y,z)$ γράφετε σαν γραμμικός συνδυασμός στοιχείων μιας βάσης του $M$ και μιας βάσης του $N_i$, $i=1,2.$ Θα δείξω τώρα ότι $M\cap N_i={\bf0}=(0,0,0)$ για κάθε $i=1,2$. Αν $(x,y,z)\in M\cap N_1$ τότε $(x,y,z)=a(1,0,1/3)+b(0,1,1/3)$ και $(x,y,z)=c(0,0,1)$. Το πρώτο σύστημα δίνει $x=a$, $y=b$, $z=(a+b)/3$ και το δεύτερο $x=y=0$, $z=c$ από το οποίο παίρνω $x=y=z=0$. Αν τώρα $(x,y,z)\in M\cap N_2$ τότε $(x,y,z)=a(1,0,1/3)+b(0,1,1/3)$ και $(x,y,z)=(0,1,0)$. Το πρώτο σύστημα δίνει $x=a$, $y=b$, $z=(a+b)/3$ και το δεύτερο $x=0$, $z=0$ , $y=c$ από τα οποία συνάγω ότι $x=y=z=0$. Άρα $M\oplus N_1=\mathbb R^3=M\oplus N_2$.