Λύση

Αν τα $v_1,\ldots ,v_n$ είναι γραμμικώς ανεξάρτητα τότε θεωρώ το τυχαίο στοιχείο $w\in <v_1>+\ldots+<v_n>$. Το $w$ γράφεται σαν $w=k_1v_1+\ldots+k_nv_n$.Αν τώρα $w=0$ τότε η γραμμική ανεξαρτησία συνεπάγεται ότι $k_i=0$ για κάθε $i=1,\ldots ,n$ και συνεπώς $<v_i>\cap <v_j>={\bf0}$ για κάθε $i\neq j$. Άρα το άθροισμα είναι ευθύ.

Αντίστροφα, αν το άθροισμα είναι ευθύ, το $<v_i>\cap <v_j>={\bf0}$ για κάθε $i\neq j$, επομένως ένας γραμμικώς συνδυασμός της μορφής $k_1v_1+\ldots+k_nv_n=0$ συνεπάγεται ότι $k_i=0$ για κάθε $i=1,\ldots ,n$ και άρα τα $v_1,\ldots ,v_n$ είναι γραμμικώς ανεξάρτητα.