Next: Άσκηση 26
Up: Γραμμικά Συστήματα και Πίνακες
Previous: Γραμμικά Συστήματα και Πίνακες
Ορισμός 14
Έστω
![$K$](img1.gif)
σώμα. Μια διάταξη των στοιχείων του
![$K$](img1.gif)
της μορφής
λέγεται πίνακας με
![$m$](img79.gif)
γραμμές και
![$n$](img45.gif)
στήλες ή ένας
![$m\times n$](img398.gif)
πίνακας.
Αν
![$A_i=(a_{i1},\ldots ,a_{in})$](img399.gif)
για κάθε
![$i=1,\ldots ,m$](img400.gif)
είναι οι γραμμές
του πίνακα και τα
![$A^j=\left(\begin{array}{c} a_{1j}\\ a_{2j}\\ \vdots\\
a_{mj}\end{array}\right)$](img401.gif)
για κάθε
![$j=1,\ldots ,n$](img402.gif)
είναι οι στήλες του
πίνακα. O
![$Α$](img403.gif)
συμβολίζεται και σαν
![$A=(a_{ij})$](img404.gif)
.
Ορισμός 16
Αν
![$A$](img405.gif)
και
![$B$](img414.gif)
δύο
![$m\times n$](img398.gif)
πίνακες, λέμε ότι ο
![$B$](img414.gif)
είναι γραμμοϊσοδύναμος
του
![$A$](img405.gif)
αν ο
![$B$](img414.gif)
μπορεί να προκύψει από τον
![$A$](img405.gif)
εφαρμόζοντας μια πεπερασμένη
ακολουθία στοιχειωδών μετασχηματισμών γραμμών.
Παράδειγμα: O πίνακας
είναι γραμμοϊσοδύναμος με τον πίνακα
εφόσον
Ορισμός 17
Ένας
![$m\times n$](img398.gif)
πίνακας
![$A$](img405.gif)
λέγεται κλιμακωτός πίνακας αν
- .
- το πρώτο μη-μηδενικό στοιχείο σε κάθε μη-μηδενική γραμμή είναι 1.
- .
- το πρώτο (ηγετικό) 1 σε κάθε μη-μηδενική γραμμή βρίσκεται στα δεξιά
του ηγετικού 1 κάθε προηγούμενης γραμμής.
- .
- οι μη-μηδενικές γραμμές εμφανίζονται πριν τις μηδενικές γραμμές του
πίνακα.
Ένας κλιμακωτός πίνακας λέγεται αναγμένος αν το ηγετικό 1 σε κάθε μη-μηδενική
γραμμή είναι το μόνο μη-μηδενικό στοιχείο της στήλης στην οποία ανήκει.
Θεώρημα 12
Κάθε μη-μηδενικός πίνακας είναι γραμμοϊσοδύναμος με έναν αναγμένο κλιμακωτό
πίνακα.
Ορισμός 18
Ένα σύστημα της παρακάτω μορφής
με
![$a_{ij},b_i \in K$](img419.gif)
λέγεται σύστημα
![$m$](img79.gif)
γραμμικών εξισώσεων με
![$n$](img45.gif)
αγνώστους στο σώμα
![$K$](img1.gif)
.
O πίνακας
λέγεται πίνακας του συστήματος και το σύστημα συμβολίζεται
![$A{\bf x}={\bf b}$](img421.gif)
όπου
![${\bf x}=\left(\begin{array}{c}x_1\\ x_2\\ \vdots\\ {\bf x}_n\end{array}\right)$](img422.gif)
και
![${\bf b}=\left(\begin{array}{c}b_1\\ b_2\\ \vdots\\ b_m\end{array}\right).$](img423.gif)
To σύστημα
![$A{\bf x}=0$](img424.gif)
αποκαλείται το ομογενές σύστημα που αντιστοιχεί
στον πίνακα
![$A$](img405.gif)
.
O πίνακας
λέγεται επαυξημένος πίνακας του συστήματος.
Θεώρημα 13
Έστω ένα γραμμικό σύστημα
![$A{\bf x}={\bf b}$](img421.gif)
και
![$(A\vert{\bf b})$](img426.gif)
ο επαυξημένος πίνακας
του συστήματος. Αν
![$(A'\vert{\bf b}')$](img427.gif)
ο πίνακας που προκύπττει από τον
![$(A\vert{\bf b})$](img426.gif)
εφαρμόζοντας ένα στοιχειώδη μετασχηματισμό γραμμών τότε
τα συστήματα
![$A{\bf x}={\bf b}$](img421.gif)
και
![$A'{\bf x}={\bf b}'$](img428.gif)
είναι ισοδύναμα.
Πόρισμα 3
Ένα σύστημα της μορφής
![$A{\bf x}={\bf b}$](img421.gif)
μπορεί να λυθεί αν βρούμε την
αναγμένη μορφή του επαυξημένου πίνακα του συστήματος. Η παραπάνω
μέθοδος λύσης λέγεται απαλοιφή του Gauss.
Θεώρημα 14
Έστω
![$K$](img1.gif)
ένα σώμα και
![$M_{m\times n}(K)$](img429.gif)
το σύνολο των
![$m\times n$](img398.gif)
πινάκων
με στοιχεία στο
![$K$](img1.gif)
.
Τότε το
![$M_{m\times n}(K)$](img429.gif)
είναι ένας διανυσματικός
χώρος στο
![$K$](img1.gif)
.
Ορισμός 19
Αν
![$A=(a_{ij})$](img404.gif)
ένας
![$m\times n$](img398.gif)
πίνακας τότε ο πίνακας
![$A^t=(a_{ji})$](img430.gif)
λέγεται ανάστροφος του
![$A$](img405.gif)
.
Ένας πίνακας λέγεται τετραγωνικός αν
.
Άν
τότε ο
λέγεται συμμετρικός. Ένας συμμετρικός πίνακας είναι
τετραγωνικός.
Ο πίνακας
λέγεται μοναδιαίος
πίνακας.
Ένας πίνακας
λέγεται μηδενοδύναμος αν υπάρχει ακέραιος
ώστε
.
Θεώρημα 15
Έστω
![$A{\bf x}={\bf b}$](img421.gif)
ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων με
![$A$](img405.gif)
έναν τετραγωνικό πίνακα
διάστασης
![$n$](img45.gif)
.
Aν τα διανύσματα
![$A^1, \ldots, A^n\in M_{n\times 1}(K)$](img436.gif)
είναι γραμμικώς ανεξάρτητα τότε το σύστημα έχει μοναδική λύση στο
![$K$](img1.gif)
.
Ορισμός 20
Ένας
![$n\times n$](img434.gif)
πίνακας λέγεται στοιχειώδης πίνακας αν μπορεί να προκύψει
από τον
![$I_n$](img437.gif)
εφαρμόζοντας ένα στοιχειώδη μετασχηματισμό γραμμών.
Θεώρημα 16
Ένας
![$n\times n$](img434.gif)
πίνακας
![$A$](img405.gif)
είναι είναι αντιστρέψιμος αν και μόνο αν
είναι το γινόμενο στοιχειωδών πινάκων.
Πόρισμα 4
Aν
![$A$](img405.gif)
αντιστρέψιμος πίνακας τότε ο
![$A^{-1}$](img438.gif)
ορίζεται εφαρμόζοντας τους
ίδιους στοιχειώδεις μετασχηματισμούς γραμμών στον
![$I_n$](img437.gif)
που εφαρμόζουμε
στον
![$A$](img405.gif)
για να πάρουμε τον
![$I_n$](img437.gif)
.
Next: Άσκηση 26
Up: Γραμμικά Συστήματα και Πίνακες
Previous: Γραμμικά Συστήματα και Πίνακες
Vassilis Metaftsis
1999-09-15