Λύση

.

Αν $A=(a_{ij})$ και $B=(b_{ij})$ τότε το $a_{ij}+b_{ij}$ είναι το $ij$ στοιχείο του $A+B$. Άρα το $a_{ij}+b_{ij}$ είναι το $ji$ στοιχείο του πίνακα $(A+B)^t$. Από την άλλη, το $a_{ij}$ είναι το $ji$ στοιχείο του $A^t$ και το $b_{ij}$ είναι το $ji$ στοιχείο του $B^t$ άρα το $a_{ij}+b_{ij}$ είναι το $ji$ στοιχείο του $A^t+B^t$. Επομένως, $(A+B)^t=A^t+B^t$.

.

Προφανώς, διπλή αλλαγή των γραμμών με τις στήλες ενός πίνακα δεν επιφέρει καμία αλλαγή στον τελικό πίνακα.

.

Το $ka_{ij}$ είναι το $ji$ στοιχείο του πίνακα $(kA)^t$. Όμως, αν $a_{ij}$ είναι το $ji$ στοιχείο του $A^t$ τότε το $ka_{ij}$ είναι το $ji$ στοιχείο του $kA^t$. Tελικά, $(kA)^t=kA^t$.

.

Το $ij$ στοιχείο του $AB$ είναι το στοιχείο

$$c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+\ldots +a_{im}b_{mj}.$$

Άρα, το $c_{ij}$ είναι το $ji$ στοιχείο του $(AB)^t$. Όμως, το $ji$ στοιχείο του $B^tA^t$ είναι το στοιχείο που προκύπτει από την $j$ στήλη του $B$ (που γίνεται $j$ γραμμή στον $B^t$) επί την $i$ γραμμή του $A$ (που γίνεται $i$ στήλη στον $A^t$). Δηλαδή το $ji$ στοιχείο του $B^tA^t$ είναι το

$$(b_{1j}, b_{2j},\ldots ,b_{mj}) \left(\begin{array}{c} a_{i1}... ...m} \end{array}\right) =b_{1j}a_{i1}+\ldots +b_{mj}a_{im}=c_{ij}$$

και άρα $(AB)^t=B^tA^t.$