Ο νόμος των μεγάλων αριθμών, από τον ορισμό του, ισοδυναμεί με την ασθενή σύγκλιση της ακολουθίας των συναρτήσεων κατανομής F_Y1(x), F_Y2(x),…, F_Yn(x),… στην οριακή κατανομή F(x), που αντιστοιχεί στην τυχαία μεταβλητή Υ που παίρνει μια μοναδική τιμή α. Αλλά η Υ έχει σαν χαρακτηριστική συνάρτηση f(t)= e^iαt και με βάση το θεώρημα συνέχειας, ικανή και αναγκαία συνθήκη για την ισχύ του νόμου των μεγάλων αριθμών, είναι η σύγκλιση των f_Yn(x) στην f(t) ομοιόμορφα σε οποιαδήποτε διάστημα [-Τ,Τ]. Παραπέρα, χρησιμοποιώντας ιδιότητες των χαρακτηριστικών συναρτήσεων, έχουμε:

Λογαριθμίζοντας την f_Yn(t) (αυτό μπορεί να γίνει καθώς ομοιόμορφα σε οποιοδήποτε διάστημα [-Τ,Τ] και η f(t) δεν γίνεται μηδέν) παίρνουμε την εξής ικανή και αναγκαία συνθήκη:

ομοιόμορφα σε οποιαδήποτε διάστημα [-Τ,Τ]. Αυτή η τελευταία συνθήκη με τη σειρά της ισοδηναμεί με τη συνθήκη . Αναπτύσσοντας τον λογάριθμο σε σειρά MacLaurin έως τον πρώτο όρο παίρνουμε:

Τέλος θέτοντας , βρίσκουμε ότι ικανή και αναγκαία συνθήκη για την ισχύ του νόμου των μεγάλων αριθμών είναι η ύπαρξη του ορίου:

δηλαδή με άλλα λόγια η ύπαρξη στο μηδέν της παραγώγου f΄₁(0) της χαρακτηριστικής συνάρτησης f΄₁(t) και μάλιστα η σταθερά α που εμφανίζεται στο νόμο των μεγάλων αριθμών, ορίζεται μέσω αυτής της παραγώγου από τον τύπο α = -i f΄₁(0).