Εάν υπάρχει DX = , ισχύει : .

2. Έστω Χ₁, Χ₂,…,Χ_n,… ακολουθία ανεξάρτητων και ισόνομων τυχαίων μεταβλητών.

Αυτή η ακολουθία ικανοποιεί τον (ασθενή) νόμο των μεγάλων αριθμών (ΝΜΑ) εάν για κάποιο α και οποιοδήποτε ε>0 ισχύει :

    Εάν υπάρχουν τα ΕΧ= m και DX = σ² για την ακολουθία Χ₁, Χ₂,…,Χ_n,… των ανεξάρτητων και ισόνομων τυχαίων μεταβλητών, τότε :

.

με φανταστική μονάδα.

Ιδιότητες

α) f(0) = 1, f(t) συνεχής

β) f_αX+b(t) = f_X(αt)e^ibt

γ) Εάν Χ₁, Χ₂ ανεξάρτητα τότε f _Χ1+Χ2 (t) = f _Χ1(t)·f _Χ2 (t).

δ)

    Για κάθε δύο σημεία συνεχείας της συνάρτησης κατανομής F(x) της Χ ισχύει :

F(Χ₂)- F(Χ₁) = .

6. Εάν η ακολουθία συναρτήσεων κατανομής F₁(x),…, F_n(x),… συγκλίνει στη συνάρτηση κατανομής F(x) δηλαδή F_n(x) F(x) , για κάθε x σημείο συνεχείας της F(x), τότε λέμε ότι έχουμε ασθενή σύγκλιση των συναρτήσεων κατανομής και συμβολίζουμε :

F_n(x) F(x).

    Ικανή και αναγκαία συνθήκη για την ασθενή σύγκλιση των συναρτήσεων κατανομής F₁(x),…, F_n(x),… στη συνάρτηση F(x) ,( F_n(x) F(x)), είναι η σύγκλιση των χαρακτηριστικών συναρτήσεων f₁(t),…, f_n(t),… στη χαρακτηριστική συνάρτηση f(t) ομοιόμορφα σε οποιοδήποτε διάστημα [-Τ, Τ].

    Έστω Χ₁, Χ₂,…,Χ_n,… ακολουθία ανεξάρτητων και ισόνομων τυχαίων μεταβλητών με ΕΧ_n=m και DX_n = σ². Τότε :

,

με S_n=, Φ(x) συνάρτηση κατανομής της τυποποιημένης κανονικής τυχαίας μεταβλητής.

Έστω Χ τυχαία μεταβλητή με πυκνότητα κατανομής. Βρείτε μια εκτίμηση των πιθανοτήτων , για ε=2, 5, 10.

Έστω η σειρά n δοκιμών Bernoulli με πιθανότητα επιτυχίας p. Εάν Μ είναι το πλήθος επιτυχιών στις n δοκιμές, η συχνότητα επιτυχιών ισούται με . Δείξτε ότι για κάθε ε > 0, με την αύξηση του n, η πιθανότητα να αποκλίνει η συχνότητα από το p λιγότερο του ε, τείνει στη μονάδα.

Βρείτε τη χαρακτηριστική συνάρτηση της διωνυμικής τυχαίας μεταβλητής M.

Βρείτε τη χαρακτηριστική συνάρτηση της κανονικής τυχαίας μεταβλητής Υ, με μέση τιμή m και διασπορά σ².

Βρείτε τη n-τάξης ροπή της τυχαίας μεταβλητής Χ, που ακολουθεί την εκθετική κατανομή.

Άσκηση 91

Έστω Χ₁, Χ₂ ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές που ακολουθούν την κανονική κατανομή με παραμέτρους m₁, σ₁ και m₂, σ₂. Βρείτε την κατανομή του αθροίσματος Υ = Χ₁+Χ₂.

Άσκηση 92

Έστω Χ₁, Χ₂ ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές που ακολουθούν την κατανομή Poisson με παραμέτρους λ₁ και λ₂. Βρείτε την κατανομή του αθροίσματος Υ = Χ₁+Χ₂.

Άσκηση 93

Έστω Χ₁, Χ₂,…,Χ_n,… ακολουθία ανεξάρτητων και ισόνομων τυχαίων μεταβλητών με χαρακτηριστική συνάρτηση f_Χn(t)=f₁(t). Εξετάζοντας την ακολουθία των αριθμητικών μέσων Υ_n = , βρείτε ικανές και αναγκαίες συνθήκες για τον ασθενή νόμο των μεγάλων αριθμών με τη βοήθεια των χαρακτηριστικών συναρτήσεων.

Δείξτε το ολοκληρωτικό θεώρημα Moivre-Laplace (βλέπε εισαγωγή Κεφαλαίου 3) με τη βοήθεια του κεντρικού οριακού θεωρήματος.

Για τον προσδιορισμό της ταχύτητας v σωματιδίου κάνουμε n παρατηρήσεις v₁, v₂,…,v_n όπου η i παρατήρηση γίνεται με τυχαίο σφάλμα Χ_i (δηλαδή v_i = v + Χ_i). Εκτιμήστε την πιθανότητα η μέση παρατηρούμενη ταχύτητα να αποκλίνει από την αληθινή v λιγότερο του ε, εάν υποθέσουμε τα Χ_i ανεξάρτητα ισόνομα με ΕΧ_i =0 και DΧ_i = σ².