16. Ομάδες πηλίκα

 

Θεώρημα 16.1. Εστω Η κανονική υποομάδα ομάδας G.

(1) Στο συνολο G / H = {aH : a G} ορίζεται μια πραξη . μέσω της (aH).(bH) = (a.b)H.

(2) Το < G / H > είναι ομάδα με ταυτοτικό στοιχείο το eH = Η. (Λέγεται η ομάδα-πηλίκο G modulo K).

(3) H φυσική απεικόνιση π : G G / H που στέλνει το a στο aH είναι επιμορφισμός με Kerπ = Η.

(4) Αν η G είναι αβελιανή, τότε και η G / H είναι αβελιανή.

(5) Αν η G είναι κυκλική, τότε και η G / H είναι κυκλική.

(6) Αν η G είναι πεπερασμένη, τότε = .

 

Σημείωση. Σε περίπτωση που η πράξη της G συμβολίζεται με +, το ίδιο σύμβολο χρησιμοποιείται και για την πράξη του πηλίκου. Ο ορισμός τώρα παίρνει την μορφή (a+H)+(b+H) = (a+b)+H.

 

Θεώρημα 16.2 (Θεμελιώδες θεώρημα ομομορφισμού). Εστω φ : G Κ ομομορφισμός και Η = Kerφ. Τότε

(1) το σύνολο Imφ = { φ(a) : a G } είναι υποομάδα της Κ. (Λέγεται η ευθεία εικόνα της φ).

(2) η φόρμουλα ψ(aH) = φ(a) ορίζει ισομορφισμό ψ : G / H Imφ.

 

Πόρισμα 16.1. Αν φ : G Κ είναι επιμορφισμός, τότε Κ ~ G / Kerφ.

 

Ασκήσεις

 

16.1. Κάνετε τον πίνακα πολλαπλασιασμού της Z / 4Z.

Λύση

16.2. Αναγνωρίστε την ομάδα Sn / An, n 2.

Λύση

16.3. Αναγνωρίστε την ομάδα Z4 Z2 / <(2, 0)>.

Λύση

16.4. Αναγνωρίστε την ομάδα Z4 Z2 / <(2, 1)>.

Λύση

16.5. Εστω G = <a> κυκλική ομάδα τάξεως m . Δείξτε ότι η φ : Z G που στέλνει το n στο an για κάθε ακέραιο n, είναι επιμορφισμός. Ποιος είναι ο πυρήνας του; Δείξτε ότι G ~ Z / mZ.

Λύση

16.6. Βρείτε ακόμη μια απόδειξη ότι δύο κυκλικές ομάδες της ιδίας τάξεως είναι ισομορφικές.

Λύση

16.7. Αναγνωρίστε την ομάδα Zm Zn / <(1, 0)>.

Λύση

16.8. Αναγνωρίστε την ομάδα Zm Zn / <(0, 1)>.

Λύση

16.9. Αναγνωρίστε την ομάδα Z Z / <(1, 1)>.

Υπόδειξη

Λύση

16.10. Δείξτε ότι το σύνολο G {e} είναι κανονική υποομάδα της G H και αναγνωρίστε την ομάδα G H / G {e}.

Υπόδειξη

Λύση

16.11. Eστω G ομάδα με a2 = e για κάθε μέλος a της G. Δείξτε ότι

(1) η G είναι αβελιανή.

Λύση

(2) αν 4, τότε η G περιέχει την ομάδα του Klein V.

Λύση

16.12. Eστω G μη κυκλική ομάδα τάξεως 6.

(1) Δείξτε ότι η G περιέχει στοιχείο α τάξεως 3.

Λύση

(2) Εστω β G - <α>. Δείξτε ότι β2 = e, βαβ = α2 και G ={e, α, α2, β, αβ, α2β }.

Υπόδειξη

Λύση

(3) Κάνετε τον πίνακα πολλαπλασιασμού της G.

Λύση

16.13. Δείξτε ότι υπάρχουν μόνο δύο ομάδες τάξεως 6.

Λύση

16.14. Δείξτε ότι μια ομάδα G της οποίας η τάξη είναι άρτιος αριθμός περιέχει στοιχείο τάξεως 2.

Λύση

16.15. Εστω φ : G Η ομομορφισμός, Α υποομάδα της G και Β υποομάδα της H. Δείξτε ότι

(1) η ευθεία εικόνα φ(Α) = {φ(x) : x A}είναι υποομάδα της Η

Λύση

και

(2) η αντίστροφη εικόνα φ-1(Β) = {x G : φ(x) Β} είναι υποομάδα της G.

Λύση

16.16. (Fermat). Δείξτε ότι όταν ο p είναι πρώτος, ap = a για όλα τα στοιχεία a του Ζp. Ισχύει αυτό στο Ζ4;

Υπόδειξη

Λύση

16.17. Δείξτε ότι στο Ζp, όταν ο p είναι πρώτος, a2 = 1 a =1 ή a = -1. Ισχύει αυτό στο Ζ24;

Λύση

16.18. (Wilson). Δείξτε ότι στο Ζp, όταν ο p είναι πρώτος, (p 1)! = -1. Ισχύει αυτό στο Ζ4;

Υπόδειξη

Λύση

 

Επιστροφή στα περιεχόμενα