Ορισμός: Έστω , δύο συναρτήσεις ορισμένες σ’ ένα ανοιχτό διάστημα με συνεχείς παραγώγους στο . Η διαφορική εξίσωση

, (1)

ονομάζεται εξίσωση Lagrange.

* H εξίσωση (1) μελετήθηκε αρχικά από τον Γάλλο μαθηματικό Joseph-Louis Lagrange (1736-1813).

Σημείωση: Η μορφή της εξίσωσης (1) αποτελεί γενίκευση της εξίσωσης Clairaut όπου .

Μέθοδος επίλυσης: Θέτοντας στην (1)

, (2)

,

και παραγωγίζοντας ως προς , παίρνουμε

,

, (3)

Παρατηρούμε τώρα ότι αν τότε η εξίσωση (3) είναι γραμμικής μορφής ως προς την αντίστροφη συνάρτηση αφού

. (4)

Έτσι επιλύοντας την (4) με το γνωστό τρόπο παίρνουμε ότι η γενική λύση της εξίσωσης Lagrange δίνεται σε παραμετρική μορφή από τις σχέσεις

 , , , (5)

όπου είναι μια αυθαίρετη πραγματική σταθερά. Επιπλέον, στα σημεία για τα οποία , , παίρνουμε ως ιδιάζουσες λύσεις της εξίσωσης Lagrange τις συναρτήσεις

. (6)

 [Επιστροφή στα Περιεχόμενα]

Να λυθούν οι διαφορικές εξισώσεις:

1. [Λύση]

2. [Λύση]

[Επιστροφή στα Περιεχόμενα]