(1)Λύση
Εκτελώντας τον μετασχηματισμό
(1)
έχουμε
,
και
.
Αντικαθιστώντας έτσι στην δοθείσα διαφορική εξίσωση παίρνουμε
ή ισοδύναμα
. (2)
Παρατηρούμε ότι ο συντελεστής του
στην
(2) είναι μηδέν, όπως θα έπρεπε. (Σημειώνουμε
ότι ο μετασχηματισμός D’Alembert έχει
πάντοτε αυτό το χαρακτηριστικό!). Θέτοντας
τώρα στην (2)
(3)
και επιλύοντας με την μέθοδο των χωριζόμενων μεταβλητών (βλ. Κεφ. 2, παρ.2 ) βρίσκουμε εύκολα ότι
,
οπότε
,
και
άρα από την (1),
, (3)
όπου
είναι
αυθαίρετες πραγματικές σταθερές. Ο
τύπος (3) δίνει την γενική λύση της δοθείσας
διαφορικής εξίσωσης (ελέγξτε το !!).