Λύση
Εκτελώντας τον μετασχηματισμό
(1)
έχουμε
,
και
.
Αντικαθιστώντας έτσι στην δοθείσα διαφορική εξίσωση παίρνουμε
ή ισοδύναμα
. (2)
Παρατηρούμε ότι ο συντελεστής του
στην (2) είναι μηδέν, όπως θα έπρεπε. (Σημειώνουμε ότι ο μετασχηματισμός D’Alembert έχει πάντοτε αυτό το χαρακτηριστικό!). Θέτοντας τώρα στην (2)(3)
και επιλύοντας με την μέθοδο των χωριζόμενων μεταβλητών (βλ. Κεφ. 2, παρ.2 ) βρίσκουμε εύκολα ότι
,
οπότε
,
και
άρα από την (1),, (3)
όπου
είναι αυθαίρετες πραγματικές σταθερές. Ο τύπος (3) δίνει την γενική λύση της δοθείσας διαφορικής εξίσωσης (ελέγξτε το !!).