Έστω η ομογενής γραμμική διαφορική εξίσωση τάξης

, (1)

όπου οι συντελεστές είναι δοσμένες συναρτήσεις ορισμένες σ’ ένα διάστημα .

Αν είναι μια μερική λύση της (1) στο , εκτελούμε το μετασχηματισμό

. (2)

Αντικαθιστώντας στη συνέχεια τη σχέση (2) στην εξίσωση (1) και χρησιμοποιώντας τον γνωστό κανόνα -τάξης παραγώγισης του Leibniz

για , καταλήγουμε στην εξίσωση

, (3)

όπου είναι κατάλληλη συνάρτηση. Έτσι, θέτοντας στην (3)

, (4)

παίρνουμε την -τάξης διαφορική εξίσωση

, (5)

ως προς .

Συμπέρασμα: Αν είναι γνωστή μια μερική λύσητης (1), τότε μέσω των μετασχηματισμών (2) και (4) καταλήγουμε στην επίλυση μιας άλλης γραμμικής διαφορικής εξίσωσης της οποίας όμως η τάξη είναι μικρότερη από αυτήν της αρχικής κατά μια μονάδα.

Σημείωση: Η παραπάνω μέθοδος υποβιβασμού τάξης για μια ομογενή γραμμική διαφορική εξίσωση οφείλεται στον Γάλλο μαθηματικό D’Alembert (1717-1783).

[Επιστροφή στα Περιεχόμενα]

ΑΣΚΗΣΕΙΣ:

1. Να λυθεί η διαφορική εξίσωση

, ,

    αν είναι μια ειδική λύση της. [Λύση]

2. Δοθέντος ότι είναι μια λύση της διαφορικής εξίσωσης

, ,

    να βρεθεί μια δεύτερη γραμμικώς ανεξάρτητη λύση. [Λύση]

3. Έστω ότι και είναι δοσμένες συνεχείς συναρτήσεις σ’ ένα ανοικτό διάστημα . Ανείναι μια μη-μηδενική λύση της διαφορικής εξίσωσης

,

να βρεθεί η γενική της λύση. [Λύση]

 [Επιστροφή στα Περιεχόμενα]