Λύση
Εκτελώντας τον μετασχηματισμό
(1)
έχουμε
,
και
.
Αντικαθιστώντας έτσι στην δοθείσα
διαφορική εξίσωση παίρνουμε
,
ή ισοδύναμα
. (2)
Παρατηρούμε ότι ο συντελεστής του
δεν ορίζεται όταν
,
δηλ. στο σημείο που
μηδενίζεται η
. Εν
τούτοις αυτό δεν θα δημιουργήσει πρόβλημα
στην συνέχεια. Θα υπολογίσουμε πρώτα την
λύση της (2) στα διαστήματα
και
ξεχωριστά. Θέτοντας
,
και επιλύοντας με την μέθοδο των
χωριζόμενων μεταβλητών (βλ. Κεφ.
2, παρ.2
) βρίσκουμε
εύκολα ότι
,
οπότε
![](Image2245.gif)
,
και άρα από την (1),
, (3)
όπου
είναι
αυθαίρετες πραγματικές σταθερές. Ο τύπος (3)
δίνει την γενική λύση της δοθείσας
διαφορικής εξίσωσης στα διαστήματα
και
. Παρατηρούμε
όμως ότι ενώ η συνάρτηση
δεν
ορίζεται στο σημείο
,
το όριο της
καθώς
υπάρχει
και είναι πεπερασμένο. Εύκολα μάλιστα
μπορεί να διαπιστώσει κανείς ότι η (3) δίνει
την γενική λύση όχι μόνον στα
και
αλλά
σε όλο το διάστημα
.
Παρεπιπτόντως βλέπουμε
ότι η
δεν
είναι φραγμένη καθώς
,
ένα φαινόμενο που είναι
στενά συνδεδεμένο με το γεγονός ότι ο
συντελεστής του
στην εξίσωση μηδενίζεται
όταν
ενώ
αυτοί των
και
όχι.
Τέλος, αν θέσουμε
,
στην
(3) προκύπτει ότι μια δεύτερη γραμμικώς
ανεξάρτητη λύση της εξίσωσης είναι η
.
[Επιστροφή
στην Άσκηση 2]