(1)

,

.

,

. (2)

Παρατηρούμε ότι ο συντελεστής του δεν ορίζεται όταν , δηλ. στο σημείο που μηδενίζεται η . Εν τούτοις αυτό δεν θα δημιουργήσει πρόβλημα στην συνέχεια. Θα υπολογίσουμε πρώτα την λύση της (2) στα διαστήματα και ξεχωριστά. Θέτοντας

,

και επιλύοντας με την μέθοδο των χωριζόμενων μεταβλητών (βλ. Κεφ. 2, παρ.2) βρίσκουμε εύκολα ότι

,

,

, (3)

όπου είναι αυθαίρετες πραγματικές σταθερές. Ο τύπος (3) δίνει την γενική λύση της δοθείσας διαφορικής εξίσωσης στα διαστήματα και . Παρατηρούμε όμως ότι ενώ η συνάρτηση δεν ορίζεται στο σημείο, το όριο της καθώς υπάρχει και είναι πεπερασμένο. Εύκολα μάλιστα μπορεί να διαπιστώσει κανείς ότι η (3) δίνει την γενική λύση όχι μόνον στα και αλλά σε όλο το διάστημα . Παρεπιπτόντως βλέπουμε ότι η δεν είναι φραγμένη καθώς , ένα φαινόμενο που είναι στενά συνδεδεμένο με το γεγονός ότι ο συντελεστής του στην εξίσωση μηδενίζεται όταν ενώ αυτοί των και όχι. Τέλος, αν θέσουμε , στην (3) προκύπτει ότι μια δεύτερη γραμμικώς ανεξάρτητη λύση της εξίσωσης είναι η

.

[Επιστροφή στην Άσκηση 2]