1. Οι στοιχειώδεις συνολοθεωρητικές έννοιες

Ενώσεις, τομές, διαφορά ή συμπλήρωμα. Συναρτήσεις 1-1 και επί, η αντίστροφη συνάρτηση. Σύνθεση συναρτήσεων.

Το σύνολο των φυσικών αριθμών { 1, 2, 3, Ό } συμβολίζεται με το γράμμα Ν, το σύνολο των ακεραίων { Ό -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, Ό } με το γράμμα Ζ και το σύνολο των ρητών αριθμών { : p, q Ξ Z, q Ή 0 } με το γράμμα Q. R και C συμβολίζουν τα σύνολα των πραγματικών και των μιγαδικών αριθμών, αντίστοιχα.

Επίσης, R⁺ = { x Ξ R : x > 0 }, Q⁺ = { x Ξ R : x > 0 } και R^* = { x Ξ R : x Ή 0 } = R - {0}. Πιο γενικά, για οποιοδήποτε σύνολο Α, Α^* θα συμβολίζει το σύνολο Α - {0}.

1.1. Πόσα στοιχεία περιέχουν τα εξής σύνολα.

Ζ , { { Ζ } }, { 1, Ζ , 1 }, { 1, { 1 }, Ζ }

1.2. Κάνετε μια λίστα των υποσυνόλων του { 1, 2, 3 }.

Λύση

1.3. Βρείτε την τομή και την ένωση των συνόλων Α_n, n = 1, 2, 3, όπου Α₁ = { x Ξ R : x² = 1 }, Α₂ = { x Ξ Z : x³ = 1 }, Α₃ = { x Ξ C : x⁴ = 1 }. Βρείτε επίσης τις διαφορές , , , , ,.

Λύση

1.4. Βρείτε την τομή και την ένωση των συνόλων Α_n, n Ξ N, όπου Α_n = { n, n+1, n+2, Ό }

Λύση

1.5. Βρείτε την τομή και την ένωση των συνόλων Α_x, x Ξ R, όπου A_x = { x², 1, x +1 }.

Λύση

1.6. Εστω f : R ® R και g : R ® R, όπου f(x) = x² +1 και g(x) = . Βρείτε την φόρμουλα για τις σύνθετες fg και gf. Είναι ίσες ;

Λύση

1.7. Είναι οι συναρτήσεις f, g, gf και fg της 1.6. αμφιμονοσήμαντες ή επί ;

Λύση

1.8. Δείξτε ότι η f : R ® R, όπου f(x) = 3x + 2 είναι 1-1 και επί και βρείτε την αντίστροφη συνάρτηση.

Λύση

1.9. Εστω a, b πραγματικοί αριθμοί με a Ή 0. Δείξτε ότι η f : R ® R, όπου f(x) = ax +b είναι 1-1 και επί και βρείτε την αντίστροφη συνάρτηση.

Λύση

1.10. Δείξτε ότι η f : R^* ® R^*, όπου f(x) = είναι 1-1 και επί και βρείτε την αντίστροφη συνάρτηση.

Λύση

1.11. Βρείτε την αντίστροφη της συνάρτησης f : R ® R, όπου f(x) = x αν ο x είναι ρητός, και f(x) = - x αν ο x είναι άρρητος.

Λύση

1.12. Εστω Α = {1, 2, 3, 4, 5}. Βρείτε την αντίστροφη της συνάρτησης f : Α ® Α που στέλνει τους 1, 2, 3, 4, 5, στους 3, 2, 4, 5, 1, αντίστοιχα.

Λύση