5. Διμελείς πράξεις

Μια (διμελής) πράξη _* σε σύνολο S είναι ένας κανόνας ο οποίος σε κάθε διατεταγμένο ζεύγος (a, b) μελών a, b του S αντιστοιχίζει ένα και μοναδικό στοιχείο του S, το οποίο συμβολίζεται με a _* b.

Εστω _* πράξη σε σύνολο S. Η _* λέγεται προσεταιριστική αν a _* ( b _* c ) = ( a _* b ) _* c για όλα τα μέλη a, b, c του S. Λέγεται αντιμεταταθετική αν a _* b = b _* a για όλα τα μέλη a, b του S. Ενα στοιχείο e του S λέγεται ταυτοτικό ή (ουδέτερο) στοιχείο της _* αν e _* a = a = a _* e για όλα τα μέλη a του S. Αν το S έχει ταυτοτικό στοιχείο e και a _* b = e = b _* a, τότε το b λέγεται (ένα) αντίστροφο στοιχείο του a.

Θεώρημα 5.1. Το ταυτοτικό στοιχείο πράξης _* σε σύνολο S, αν υπάρχει, είναι μοναδικό.

Θεώρημα 5.2. Εστω S σύνολο εφοδιασμένο με προσεταιριστική πράξη _* η οπoία έχει ταυτοτικό στοιχείο. Τότε το αντίστροφο στοιχείου a του S, αν υπάρχει, είναι μοναδικό.

Πίνακες “πολλαπλασιασμού”.

5.1. Εξετάστε αν η πράξη _* στο Q είναι προσεταιριστική, αντιμεταθετική ή έχει ταυτοτικό στοιχείο, όπου

(1) x _* y = x – y

(2) x _* y = 2x + 3y

και

(3) x _* y = 3xy

Λύση

5.2. Για τις πράξεις της 5.1. που έχουν ταυτοτικό στοιχείο, ποια στοιχεία του Q έχουν αντίστροφο στοιχείο;

Λύση

5.3. Εστω _* προσεταιριστική πράξη σε σύνολο S και a, b, c, d στοιχεία του S. Δείξτε ότι τα εξής στοιχεία του S είναι ίσα: 

a _* (b _* (c _* d)), (a _* b) _* (c _* d), (a _* (b _* c)) _* d, a _* ((b _* c) _* d), (a _* (b _* c)) _* d.

Λύση

5.4. Εστω _* προσεταιριστική πράξη σε σύνολο S και a, b, c, d, e στοιχεία του S. Δείξτε ότι (a _* b) _* ((c _* d) _* e) = (a _* (b _* c)) _* (d _* e).

Λύση

Επιστροφή στα περιεχόμενα